문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
∑k=120 f(1+kh) − 20f(1)에서 20f(1)=f(1)이 20개다. 그래서 ∑f(1+kh)−20f(1) = ∑{f(1+kh)−f(1)}로 묶인다. 상수항 개수(20)가 합의 항 수(20)와 딱 맞아떨어지는 게 신호. 이렇게 짝지으면 각 조각이 미분계수 정의 꼴로 바뀐다.
◀ 상수 개수 = 합의 항 수, 1:1로 붙여라
(1/h){f(1+kh)−f(1)}의 분모는 h인데, 미분계수 정의 f′(1)=lim{f(1+t)−f(1)}/t를 쓰려면 분모가 증가분 kh여야 한다. 그래서 {f(1+kh)−f(1)}/(kh) × k로 변형 → k·f′(1). 분모를 '실제 증가분'에 맞추고 남는 배수를 밖으로 빼는 게 정석.
◀ 분모=증가분(kh), 나머지 k는 밖으로
각 항이 k·f′(1)이 되어 전체는 ∑k=120 k·f′(1) = f′(1)·∑k. ∑k=120 k = 20·21/2 = 210. 따라서 값은 210·f′(1) = 210×2 = 420. 자연수 합 공식 n(n+1)/2를 마지막에 곧바로 꽂아 계산을 끝낸다.
◀ 최종식 210f′(1), 여기에 f′(1)=2 대입
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 시그마 안에 미분계수 정의가 숨어 있다. −20f(1)을 20개의 −f(1)로 쪼개 각 f(1+kh)와 짝지으면 ∑{f(1+kh)−f(1)}. 여기서 분모를 실제 증가분 kh로 맞추고 ×k 보정하면 각 항이 k·f′(1)이 되고, 자연수 합 공식으로 마무리된다.
실수 포인트 ① : 분모 h를 그대로 두고 {f(1+kh)−f(1)}/h를 f′(1)로 착각하는 실수. 분모는 증가분 kh여야 하며, 이때 몫은 f′(1)이고 남는 k가 계수로 붙는다.
실수 포인트 ② : ∑k를 20으로 착각하는 실수(항이 20개니까). 항의 '개수'가 아니라 'k의 합' 1+2+…+20=210이 필요하다.
실수 포인트 ③ : 마지막에 f′(1)=2 대입을 빠뜨리고 210에서 멈추는 실수. 210×2=420까지 가야 답이다.
정답 : 420