문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→0 (f(x)−f(0))/x는 도함수 정의식과 완전히 같은 f'(0)이다. 즉 x→0 극한을 매번 통분·약분으로 계산할 필요 없이, f(x)를 미분해 x=0을 대입하면 끝. 다항함수라면 이 값은 언제나 존재한다.
◀ 이 꼴을 보면 극한 계산 대신 곧바로 f'(0)을 떠올려라
g(0)=f(0)이고 x→0 극한은 f'(0)이니, 연속 조건 lim=g(0)은 곧 f'(0)=f(0)이다. 세 보기를 미분해 f'(0)과 f(0)을 각각 구해 같은지만 비교하면 된다. 극한을 세 번 손계산하는 노가다가 미분 한 번으로 압축된다.
◀ 문제 전체가 ‘f'(0)과 f(0)이 같은가?’ 한 질문으로 요약된다
ㄱ: f=x+1 → f'(0)=1, f(0)=1 같음(참). ㄴ: f=x³+5x+5 → f'(0)=5, f(0)=5 같음(참). ㄷ: f=1/(x+1) → f'(0)=−1, f(0)=1 다름(거짓). 다항함수는 1차항 계수와 상수항만 보면 암산으로 끝난다.
◀ f=…+bx+c 꼴이면 f'(0)=b, f(0)=c만 비교하면 된다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (f(x)−f(0))/x는 미분계수의 정의 그 자체다. 연속 조건을 f'(0)=f(0)으로 번역하는 순간, 극한 3번이 미분 3번(사실상 암산)으로 줄어든다. 이게 이 ‘최다빈출 왕중요’ 문제의 핵심 스킬이다.
실수 포인트 ① : (f(x)−f(0))/x를 도함수로 못 알아보고 매번 통분·약분으로 극한을 손계산하다 시간을 날리는 실수. 정의식을 눈에 익혀 f'(0)으로 즉시 치환하라.
실수 포인트 ② : g(0)=f(0)인데 g(0)=0으로 착각하는 실수. 조각정의에서 x=0일 때의 값은 0이 아니라 f(0)이다.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 f'(0)=−1을 +1로 부호 실수. −1/(x+1)에 x=0을 넣으면 −1이다. 부호 하나 놓치면 f(0)=1과 같아져 참으로 오답 처리된다.
정답 : ③ (ㄱ, ㄴ)