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(x−9)f(x)/(√x−3)에 켤레 (√x+3)을 곱하면 분모 (√x−3)(√x+3)=x−9. (x−9)가 약분되어 (√x+3)f(x) → (3+3)·2=12. ㄱ은 [참].
◀ √ 차이가 있는 분모는 켤레를 곱해 유리화
3x ≤ f(x) ≤ x³+2에서 x→1일 때 3x→3, x³+2→3. 양 끝이 3으로 같으니 압착정리로 f(x)→3. ㄴ은 [참].
◀ 압착은 ‘양 끝이 같은 극한’일 때만 작동
ㄷ: f=(합+차)/2, g=(합−차)/2이므로 f+g·f−g 극한이 존재하면 f,g 각각 극한 존재 → 곱 fg도 존재 [참]. ㄹ: h−f→0이라도 f,h가 각각 ∞로 발산하면 사이의 g도 발산할 수 있다. 반례 f=x−1/(x²+1), g=x, h=x+1/(x²+1) [거짓].
◀ 압착정리는 h−f→0만으론 부족, f·h가 유한값에 수렴해야
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 합답형은 보기마다 다른 도구를 쓴다. ㄱ은 유리화, ㄴ은 압착정리, ㄷ은 극한의 사칙연산 성질, ㄹ은 압착정리의 함정 버전이다. 특히 ㄷ은 참인데 거짓처럼 보이고, ㄹ은 참처럼 보이는데 거짓이다 — 이 둘이 정답을 가른다.
실수 포인트 ① : ㄷ을 거짓으로 오판하는 실수. f+g와 f−g의 극한이 각각 존재하면 (합+차)/2=lim f, (합−차)/2=lim g로 f,g 극한이 개별로 존재한다. 곱의 극한 = 극한의 곱이므로 lim fg도 존재. 참이다.
실수 포인트 ② : ㄹ을 참으로 오판하는 실수. ‘f<g<h이고 h−f→0’만으론 압착이 안 된다. 압착정리는 양 끝 f,h가 같은 유한값으로 수렴해야 성립한다. f,h가 함께 무한대로 가면 차가 0이어도 g는 발산할 수 있다. 반례 하나면 거짓 확정.
실수 포인트 ③ : ㄱ에서 유리화를 안 하고 0/0에서 멈추는 실수. √x−3→0이니 켤레 √x+3을 곱해 (x−9)를 만들어 약분하라.
정답 : ④ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)