문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→3 (x²+ax+3)/(x−3)=2에서 분모(x−3)→0인데 극한값이 2(유한)다. 이럴 땐 분자도 반드시 0이어야 한다. x=3 대입: 9+3a+3=0 → 3a=−12 → a=−4. 0으로 나눌 수 없는데 값이 존재한다면 위쪽도 0으로 맞춰주는 게 유일한 방법이다.
◀ 분모0 · 극한존재 = 분자0, 대입해서 상수 결정
limx→1 (x²−1)/(x²+2x+b)=1/2. 분자 x²−1은 x=1에서 0이다. 그런데 극한값이 1/2(0이 아님). 0/(0아닌 수)=0이 되어버리니 모순. 따라서 분모도 0이어야 한다. x=1 대입: 1+2+b=0 → b=−3. ‘분자0인데 답이 0이 아니다’ → 분모0 확정.
◀ 방향이 반대여도 논리는 같다: 유한·비영 극한이면 위아래 차수 맞추기
a=−4, b=−3을 넣으면 limx→∞ (−12x²−x+2)/(−3x²+2x+1). x→∞에서는 분모·분자를 x²로 나눠 1/x, 1/x²이 붙은 항을 전부 0으로 죽인다. 남는 건 최고차 계수의 비 −12/−3=4. 같은 차수 유리식의 무한대 극한은 ‘앞 계수끼리 나눗셈’으로 즉답 가능.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 미정계수 문제의 두 방향을 한 문제에서 다 쓴다. ① 분모→0·극한 유한이면 분자→0(a 결정), ② 분자→0·극한이 0이 아니면 분모→0(b 결정). a=−4, b=−3을 마지막 x→∞ 극한에 대입하면 같은 차수 유리식이므로 최고차항 계수의 비 −12/−3=4로 끝난다.
실수 포인트 ① : 9+3a+3=0을 12+3a=0으로 정리한 뒤 3a=−12에서 a=−4인데 a=4로 부호를 놓치는 실수.
실수 포인트 ② : 마지막 극한 분자 3ax²에 a=−4를 넣으면 3·(−4)=−12. 3a를 그냥 3으로 계산하는 실수 주의.
실수 포인트 ③ : x→∞에서 상수항·1차항을 살려두고 헤매는 실수. x²로 나눠 최고차 계수비만 보면 −12/−3=4.
정답 : ④ (4)