“
정삼각형의 중요한 성질 중 하나는 외심, 내심, 무게중심이 모두 일치한다는 것입니다. 이 문제에서는 무게중심의 성질을 활용합니다.
접근법:
1. 정삼각형에서 무게중심은 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선(중선이자 높이)을 2:1로 내분합니다.
2. 꼭짓점 A와 무게중심 O(원점) 사이의 거리를 구합니다. 이 거리가 높이의 2/3에 해당합니다.
3. 이를 통해 삼각형의 전체 높이를 구할 수 있습니다.
4. 정삼각형의 높이와 한 변의 길이 사이의 관계(높이 = (√3/2) * 한 변)를 이용해 한 변의 길이를 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 성질을 기하학적으로 접근해야 쉽게 풀 수 있습니다. 단순히 좌표 계산에만 의존하면 풀이가 매우 복잡해질 수 있습니다.
”
정삼각형 꼭짓점과 무게중심
“
한 꼭짓점과 그 대변의 중점, 즉 중선의 양 끝점 좌표가 주어졌을 때 무게중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 무게중심은 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분하는 점에 위치합니다.
2. 문제에서 꼭짓점 A의 좌표와 변 BC의 중점 M의 좌표가 주어졌으므로, 선분 AM이 바로 중선입니다.
3. 따라서 선분 AM을 2:1로 내분하는 점의 좌표를 구하면 그것이 바로 무게중심의 좌표입니다.
주의할 점:
무게중심의 정의와 성질을 명확히 알고 있다면, 나머지 두 꼭짓점 B, C의 좌표를 전혀 몰라도 무게중심을 구할 수 있습니다.
”
꼭짓점과 중점으로 무게중심 구하기
“
좌표가 직접 주어지지 않은 상태에서, 무게중심의 y좌표가 각 꼭짓점의 y좌표들의 산술평균임을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 문제의 직선 l을 x축이라고 생각합니다. 그러면 각 꼭짓점에서 직선 l까지의 거리는 각 꼭짓점의 y좌표가 됩니다.
2. 삼각형의 무게중심의 y좌표는 세 꼭짓점 y좌표의 평균, 즉 (y₁+y₂+y₃)/3 입니다.
3. 문제에서 주어진 세 거리(12, 20, 13)를 y좌표 값으로 보고, 이들의 평균을 구합니다.
4. 이 평균값이 바로 무게중심 G에서 직선 l까지의 거리가 됩니다.
주의할 점:
x좌표는 알 수 없지만, y좌표(거리)만으로도 무게중심의 y좌표(거리)는 구할 수 있다는 점을 이해하는 것이 핵심입니다. 좌표축을 스스로 설정하여 문제를 단순화하는 능력이 필요합니다.
”
무게중심과 거리 (좌표 설정)
“
삼각형의 한 꼭짓점, 한 변의 중점, 그리고 무게중심의 좌표가 주어졌을 때, 나머지 점들의 좌표를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 꼭짓점 A와 중점 M의 좌표를 이용해 꼭짓점 B의 좌표를 먼저 구합니다.
2. 꼭짓점 C의 좌표를 미지수로 둡니다. 이제 세 꼭짓점의 좌표 중 하나만 미지수입니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 무게중심 G의 좌표를 구하고, 이 값이 주어진 좌표 (1,2)와 같다고 놓고 C의 좌표를 구합니다.
4. 확정된 B, C의 좌표를 이용해 선분 BC의 중점 좌표를 구합니다.
주의할 점:
주어진 단서들을 어떤 순서로 활용해야 가장 효율적인지 파악하는 것이 중요합니다. 이 문제에서는 A, M -> B -> G -> C 순으로 푸는 것이 정석입니다.
”
꼭짓점, 중점, 무게중심 좌표 관계
“
삼각형 내부의 한 점에서 세 꼭짓점을 연결하여 만들어진 세 삼각형의 넓이가 모두 같을 조건을 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 내부의 한 점 P에 대해, 삼각형 PAB, PBC, PCA의 넓이가 모두 같다는 것은 점 P가 바로 그 삼각형의 무게중심이라는 의미입니다.
2. 따라서 이 문제는 세 꼭짓점 A, B, C의 무게중심이 P(3,0)이라는 것을 알려준 것과 같습니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 a, b 값을 구하고 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
넓이가 같다는 조건을 보고 직접 넓이를 계산하려고 하면 문제가 매우 복잡해집니다. 이 조건이 무게중심을 의미한다는 사실을 바로 파악하는 것이 핵심입니다.
”
무게중심의 성질 (넓이)
“
삼각형의 무게중심 좌표 구하는 공식을 정확히 알고 적용할 수 있는지를 묻는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 모두 더한 뒤 3으로 나누어 무게중심의 좌표를 미지수 a, b를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 이 식이 문제에서 주어진 무게중심의 좌표 G(1, b)와 같다고 등식을 세웁니다.
3. x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 같다고 놓으면 a와 b에 대한 두 개의 방정식을 얻을 수 있습니다.
4. 두 방정식을 풀어 a, b 값을 구한 뒤, 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
무게중심의 y좌표가 미지수 b로 주어져, y좌표에 대한 등식에 미지수가 양변에 모두 나타납니다. 당황하지 말고 침착하게 방정식을 풀면 됩니다.
”
무게중심 좌표로 미지수 계산
“
한 꼭짓점과 두 변의 중점들의 정보가 주어졌을 때, 나머지 꼭짓점들의 정보를 추론하는 문제입니다. 중점 연결 정리와 관련이 있습니다.
접근법:
1. 두 꼭짓점 B, C의 좌표를 미지수로 설정합니다.
2. 선분 AB의 중점 M, 선분 AC의 중점 N의 좌표를 각각 미지수를 포함한 식으로 표현합니다.
3. 문제에 주어진 중점들의 좌표 합에 대한 조건(x₁+x₂=-4, y₁+y₂=6)에 2단계에서 구한 식을 대입합니다.
4. 이를 통해 꼭짓점 B, C의 좌표 합을 구할 수 있고, 최종적으로 삼각형 세 꼭짓점 좌표의 총합을 계산합니다.
주의할 점:
각 중점의 x좌표, y좌표를 더하는 과정에서 상수항과 변수항을 분리하여 계산하면 실수를 줄일 수 있습니다.
”
두 변 중점의 합으로 꼭짓점 합 구하기
“
세 변의 중점들의 좌표가 주어졌을 때, 원래 삼각형의 꼭짓점 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 세 꼭짓점의 좌표를 각각 미지수로 설정합니다. (A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃))
2. 각 변의 중점 공식을 이용해 3개의 중점(AB, BC, CA의 중점)에 대한 식을 세웁니다.
3. x좌표에 대한 식 3개, y좌표에 대한 식 3개를 얻을 수 있으며, 이들을 연립하여 모든 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
4. 최종적으로 문제에서 요구하는 값(좌표의 총합)을 계산합니다.
주의할 점:
세 개의 연립방정식을 풀 때, 세 식을 모두 더하면 x₁+x₂+x₃ 형태가 나타나 계산이 간편해집니다. 이 풀이 패턴을 기억해두면 유용합니다.
”
세 변의 중점으로 꼭짓점 합 구하기
“
삼각형의 중점과 무게중심의 관계를 이용하여 꼭짓점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 한 중선(꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선분)을 무게중심은 2:1로 내분한다는 성질을 이용합니다.
2. 문제에서 주어진 ‘선분 AM을 2:1로 내분하는 점’이 바로 삼각형 ABC의 무게중심입니다.
3. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심을 구하는 공식과, 주어진 무게중심 좌표 (1,-1)이 같다고 등식을 세웁니다.
4. 이를 통해 미지수 a, b 값을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
문제의 표현을 보고 무게중심의 정의를 바로 떠올리는 것이 시간 단축의 핵심입니다. 직접 중점 M의 좌표를 구한 뒤, AM을 2:1로 내분하는 점을 구하는 정석적인 방법으로도 풀 수 있습니다.
”
중점과 내분점을 이용한 꼭짓점
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67번 문제와 동일하게 삼각형의 넓이 비를 밑변의 길이 비, 즉 내분/외분 관계로 해석하여 푸는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 삼각형 OAB의 넓이를 구해, 주어진 삼각형 OAC의 넓이와 비교하여 두 넓이의 비를 찾습니다. (넓이 비 OAB:OAC = 1:3)
2. 두 삼각형은 높이가 같으므로, 밑변의 길이 비 **AB:AC = 1:3** 이 성립합니다.
3. 문제의 조건(a4. 점 C의 좌표를 (a,b)로 두고, AC를 1:2로 내분하는 점이 B라는 식을 세워 a,b를 구합니다.
주의할 점:
좌표의 부호 조건을 통해 점들의 상대적인 위치를 파악하고, 여러 내/외분 가능성 중에서 문제의 조건에 맞는 유일한 경우를 선택해야 합니다.
”
삼각형 넓이 비와 외분점 좌표
