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두 원의 공통접선의 길이를 구하는 문제입니다. 두 원의 중심과 접점을 이용해 보조선을 그어 직각삼각형을 만드는 것이 핵심입니다.
접근법:
1. 두 원의 중심 좌표와 반지름을 각각 구합니다.
2. 작은 원의 중심에서 큰 원의 반지름에 수선을 내리면, 두 원의 중심과 수선의 발을 잇는 직각삼각형이 만들어집니다.
3. 이 직각삼각형의 빗변은 ‘두 원의 중심 사이의 거리’가 됩니다.
4. 높이는 ‘두 원의 반지름의 차’가 됩니다.
5. 피타고라스 정리를 이용해 나머지 한 변의 길이(밑변)를 구하면, 이 길이가 바로 공통접선의 길이와 같습니다.
주의할 점:
공통 외접선 문제는 ‘반지름의 차’를, 공통 내접선 문제는 ‘반지름의 합’을 이용해 직각삼각형을 만듭니다. 그림을 그려서 확인하는 것이 가장 확실합니다.
”
두 원의 공통 외접선의 길이
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 402번 문제와 같이 기하학적 성질을 이용합니다. 삼각형 PAB의 밑변을 AB, 높이를 PQ(Q는 선분 AB와 OP의 교점)로 생각합니다.
2. (밑변 AB 구하기) 402번과 같은 방법으로, 직각삼각형 OAP의 넓이를 이용해 선분 AB의 길이를 구합니다.
3. (높이 PQ 구하기) 직각삼각형 OAQ에서 피타고라스 정리를 이용해 OQ의 길이를 구하고, 전체 OP의 길이에서 빼서 높이 PQ를 구합니다.
4. 밑변과 높이를 곱하여 삼각형 PAB의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
계산 과정이 매우 길고 복잡합니다. 각 선분의 길이를 구하기 위해 여러 개의 직각삼각형에서 피타고라스 정리와 넓이 공식을 반복적으로 사용해야 합니다.
”
접점으로 만들어진 삼각형의 넓이
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 접점을 잇는 선분(극선)의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (기하학적 접근) 원의 중심 C, 원 밖의 점 P, 접점 A는 직각삼각형을 이룹니다.
2. 먼저 원의 중심 C와 반지름 r을 구하고, 중심 C와 점 P 사이의 거리(CP)를 구합니다.
3. 피타고라스 정리를 이용해 접선의 길이(AP)를 구합니다.
4. 삼각형 PAC의 넓이를 두 가지 방법 (1/2 * AP * AC = 1/2 * CP * 높이)으로 표현하면, 높이(선분 AB 길이의 절반)를 구할 수 있습니다. 이 높이의 두 배가 구하는 답입니다.
주의할 점:
원 밖의 점에서 그은 두 접선과 관련된 문제는, 중심-외부점-접점을 잇는 직각삼각형을 그리는 것이 풀이의 시작입니다.
”
접점을 잇는 선분(극선)의 길이
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원이 직선에 접하면서 움직이는 상황을 해석하는 문제입니다. 원의 중심은 원래 직선과 평행한 직선 위를 움직인다는 점이 핵심입니다.
접근법:
1. 원이 직선에 접하므로, 원의 중심과 직선 사이의 거리는 항상 반지름의 길이(2)로 일정합니다.
2. 이는 원의 중심이 원래 직선과 거리가 2만큼 떨어진 평행선 위를 움직인다는 것을 의미합니다.
3. 이 평행선의 방정식을 구하고, 두 원의 중심 P와 Q가 모두 이 직선 위의 점임을 확인합니다.
4. 최종적으로 구해야 할 ‘원의 이동 거리’는 두 중심 P와 Q 사이의 거리와 같습니다.
주의할 점:
움직이는 원의 중심의 자취가 평행선임을 파악하는 것이 중요합니다. 평행한 두 직선 사이의 거리 공식을 역으로 활용하여 평행선의 방정식을 찾을 수도 있습니다.
”
원이 직선에 접하며 움직일 때 중심의 자취
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원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이가 주어졌을 때, 점의 좌표에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 398번 문제의 역순으로 진행합니다.
2. 원의 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
3. 직각삼각형 PCQ에서, 접선의 길이 PQ(주어짐)와 반지름 CQ(r)를 알고 있으므로, 피타고라스 정리를 이용해 빗변 PC의 길이를 구할 수 있습니다.
4. 빗변 PC의 길이는 원 밖의 점 P(-2,a)와 중심 C 사이의 거리와도 같습니다. 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 PC의 길이를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 3단계와 4단계에서 구한 두 PC의 길이가 같다고 등식을 세워 a에 대한 이차방정식을 풉니다.
주의할 점:
접선의 길이를 구하는 피타고라스 정리 관계를 역으로 활용하는 문제입니다. 최댓값, 최솟값을 묻고 있으므로 두 개의 해를 모두 고려해야 합니다.
”
접선의 길이가 주어졌을 때 점의 좌표
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 관련된 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 사각형 PACB는 두 개의 합동인 직각삼각형(PAC와 PBC)으로 이루어져 있습니다.
2. 따라서 **직각삼각형 PAC의 넓이를 구해 2배** 하면 됩니다.
3. 직각삼각형 PAC의 넓이를 구하기 위해, 밑변(접선 AP)과 높이(반지름 AC)의 길이가 필요합니다.
4. 398번 문제와 동일한 방법으로 피타고라스 정리를 이용해 접선의 길이 AP를 먼저 구합니다.
5. 삼각형의 넓이 = 1/2 * AP * AC 를 계산하고, 2를 곱하여 사각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 항상 같다는 성질을 이용하면, 두 삼각형이 합동임을 쉽게 알 수 있습니다.
”
접선과 반지름으로 만든 사각형의 넓이
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원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 길이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
2. 원 밖의 점 A와 원의 중심 C를 잇는 선분 AC의 길이를 구합니다. 이 선분이 직각삼각형의 빗변이 됩니다.
3. 접점 P, 중심 C, 원 밖의 점 A는 직각삼각형을 이룹니다. (각 C P A = 90°)
4. **피타고라스 정리 (AP² + CP² = AC²)** 를 이용해 접선의 길이 AP를 구합니다.
주의할 점:
(원 밖의 점-중심 거리)² = (반지름)² + (접선 길이)² 라는 관계를 명확히 인지하고 있어야 합니다.
”
원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이
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원과 직선이 만나서 생기는 활꼴의 넓이를 구하는 과정을 빈칸 추론으로 제시한 문제입니다.
접근법:
1. 활꼴의 넓이는 **(부채꼴의 넓이) – (삼각형의 넓이)** 로 구합니다.
2. (가), (나): 먼저 삼각형 OAB의 넓이를 구해야 합니다. 이를 위해 밑변 AB의 길이와 높이 OH가 필요합니다. OH는 원점과 직선 사이의 거리이므로 (가)를 채울 수 있습니다. 피타고라스 정리로 AH를 구하면 AB 길이를 알 수 있고, (나)를 채울 수 있습니다.
3. (다): 부채꼴 OAB의 넓이를 구하려면 중심각의 크기가 필요합니다. 삼각형 OAH가 특수각을 갖는 직각삼각형임을 이용하여 중심각을 구하고, 부채꼴의 넓이를 계산하여 (다)를 채웁니다.
주의할 점:
활꼴의 넓이를 구하는 정석적인 과정을 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 점과 직선 사이의 거리, 피타고라스 정리, 부채꼴 넓이 공식 등 여러 개념이 사용됩니다.
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원과 직선으로 만들어진 활꼴의 넓이
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원이 x축에 접하고, y축에 의해 잘린 현의 길이가 주어졌을 때, 원의 중심과 원점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제1사분면에 있고 x축에 접하므로, 중심을 (a, r), 반지름을 r로 설정할 수 있습니다.
2. y축에 의해 잘린 현의 길이가 4이므로, 현의 길이의 절반은 2입니다.
3. 원의 중심에서 y축까지의 거리는 a입니다.
4. 피타고라스 정리를 적용합니다: (현/2)² + (중심과 y축 사이 거리)² = r². 즉, 2² + a² = r² 입니다.
5. 또한 ‘기울기가 2인 직선’이 원과 점 S에서 만나는 조건을 활용해야 합니다. (문제 해석이 복잡하여 해설의 흐름을 따름)
주의할 점:
x축 접촉 조건과 y축에 의해 잘린 현의 길이를 각각 식으로 표현하고 연립하는 것이 정석적인 풀이입니다. 문제의 조건이 복잡하게 얽혀있어 주의가 필요합니다.
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x축 접촉과 y축 현의 길이
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원과 직선의 현의 길이가 주어졌을 때, 원의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 원의 중심 C와 주어진 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 현 AB의 길이가 4이므로, 현의 길이의 절반은 2입니다.
4. 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 에 모든 값을 대입하면 k에 대한 간단한 방정식을 얻을 수 있습니다.
주의할 점:
394번 문제와 거의 동일한 구조입니다. 미지수가 반지름에 포함되어 있을 뿐, 풀이 원리는 같습니다.
”
현의 길이와 원의 미정계수
