“
두 직선이 직선 y=x에 대하여 서로 대칭일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 한 직선(예: 첫 번째 직선)을 y=x에 대해 대칭이동 시킵니다. (x와 y를 바꿈)
2. 이 대칭이동된 직선이 다른 한 직선과 완전히 일치해야 합니다.
3. 두 직선의 방정식이 일치할 조건, 즉 계수의 비가 모두 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 연립하여 미지수 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
두 도형이 y=x 대칭이라는 것은, 하나를 y=x 대칭시켰을 때 다른 하나와 겹쳐진다는 의미입니다.
”
두 직선이 y=x에 대해 대칭일 조건
“
한 직선을 연속적으로 대칭이동했을 때, 원래 점을 다시 지나도록 하는 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(4,-3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선을 y=x에 대해 대칭이동합니다. (x와 y를 바꿈)
3. 2단계에서 얻은 직선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y를 대입)
4. 최종적으로 얻은 이 직선이 다시 점 A(4,-3)을 지나야 하므로, 좌표를 대입하여 m에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
대칭이동을 순서대로 정확하게 적용하고, 최종 방정식에 원래 점을 다시 대입하는 흐름을 따라가야 합니다.
”
연속 대칭이동 후 원래 점을 지날 조건
“
직선의 대칭이동과 수직 조건을 결합한 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=-2x+6을 직선 y=x에 대하여 대칭이동합니다. (x와 y를 서로 바꿈)
2. 1단계에서 구한 대칭이동된 직선에 수직인 직선의 기울기를 구합니다. (기울기 곱 = -1)
3. 2단계에서 구한 기울기를 가지고 점 (2,3)을 지나는 직선의 방정식을 완성합니다.
4. 완성된 방정식을 y=ax+b 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
y=x에 대한 대칭이동은 x와 y의 역할을 바꾸는 것입니다. 대칭이동된 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 정확히 구해야 합니다.
”
직선의 대칭이동과 수직 조건
“
원 위의 점, 대칭이동, 수직인 직선 등 여러 조건이 복합된 고난도 기하 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 두 점 A₁, A₂의 y좌표를 먼저 구합니다.
2. 직선 A₁B와 수직인 직선은 B를 지나고, 마찬가지로 A₂B와 수직인 직선도 B를 지납니다. 이 수직인 두 직선이 원과 만나는 점이 C₁, C₂입니다.
3. 기하학적으로, A₁BC₁과 A₂BC₂는 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 됩니다. 따라서 A₁C₁과 A₂C₂는 모두 원의 지름입니다.
4. 이는 점 C₁, C₂가 각각 A₁, A₂를 **원점에 대해 대칭이동**한 점임을 의미합니다.
5. A₁, A₂의 좌표를 이용해 C₁, C₂의 좌표를 구하고, 문제에서 요구하는 값을 계산합니다.
주의할 점:
수직 조건과 원의 성질을 결합하여, ‘지름에 대한 원주각은 90도’임을 파악하고, 최종적으로 원점 대칭 관계임을 추론하는 과정이 핵심입니다.
”
원 위의 점, 대칭이동, 수직 조건 종합
“
두 직선의 수직 조건과 두 점의 y=x 대칭 조건을 모두 만족하는 점들의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 두 직선 OA와 OB가 수직이므로, 기울기의 곱이 -1입니다. 이 조건을 이용해 미지수 a의 값을 구합니다.
2. (나) 조건: 점 B와 C는 y=x에 대해 대칭이므로, 점 C의 좌표는 점 B의 좌표의 x, y를 바꾼 것과 같습니다.
3. 이제 두 점 A와 C의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고 y절편을 찾습니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 순서대로 적용하여 모든 미지수의 값을 결정하는 문제입니다. 각 조건이 어떤 기하학적, 대수적 의미를 갖는지 정확히 해석해야 합니다.
”
수직 조건과 y=x 대칭 조건
“
내분점을 구하고, 그 점을 대칭이동하여 만들어진 삼각형의 무게중심을 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 구합니다.
2. 두 점 A, B를 2:1로 내분하는 점 P의 좌표를 구합니다.
3. 점 P를 x축, y축에 대해 각각 대칭이동한 점 Q, R의 좌표를 구합니다.
4. 이제 세 점 P, Q, R의 좌표를 모두 알았으므로, 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심을 구합니다.
주의할 점:
절편, 내분점, 대칭이동, 무게중심 등 여러 단원의 기본 개념을 순차적으로 정확하게 적용해야 하는 문제입니다.
”
내분점, 대칭이동, 무게중심 종합
“
대칭이동의 순서를 정확히 따라 점의 좌표를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1, a)를 y=x에 대해 대칭이동한 점 A의 좌표를 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점 A를 y축에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다.
3. 이 최종 점의 좌표가 (2,b)와 같다고 놓고, x, y좌표를 각각 비교하여 a와 b의 값을 찾습니다.
주의할 점:
각 대칭이동의 규칙을 정확히 적용하고, 이동 순서를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
대칭이동의 순서와 최종 좌표
“
연속적인 대칭이동으로 만들어진 세 점으로 구성된 삼각형의 넓이를 이용해 원래 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 위의 점 A를 (a, a+8)로 설정합니다.
2. 점 A를 y=x 대칭한 점 B, 점 B를 원점 대칭한 점 C의 좌표를 각각 a에 대한 식으로 나타냅니다.
3. 세 점 A, B, C의 위치 관계를 보면, 삼각형 ABC는 항상 **직각삼각형**이 됨을 알 수 있습니다.
4. 두 변 AB와 AC의 길이를 a에 대한 식으로 표현합니다.
5. 직각삼각형의 넓이 공식을 이용해 넓이를 구하고, 이 값이 256과 같다는 방정식을 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 위치 관계를 파악하여 직각삼각형임을 알아내는 것이 중요합니다. 이를 통해 넓이 계산을 간단히 할 수 있습니다.
”
연속 대칭이동과 직각삼각형 넓이
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여러 점들이 대칭이동된 후, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 x축, y축에 대칭이동한 점 B, C의 좌표를 각각 구합니다.
2. 점 D를 y축에 대칭이동한 점 E의 좌표를 a,b를 포함한 식으로 구합니다.
3. 세 점 B, C, E가 한 직선 위에 있으므로, **직선 BC의 기울기와 직선 CE의 기울기가 같다**는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀면 a와 b 사이의 관계식을 얻을 수 있습니다.
5. 문제에서 요구하는 직선 AD의 기울기를 a, b에 대한 식으로 표현하고, 4단계의 관계식을 이용해 값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 공선 조건(기울기가 같다)을 이용해 미지수 사이의 관계식을 이끌어내는 것이 핵심입니다.
”
대칭이동한 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
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연속적인 대칭이동 후 점이 위치하는 사분면을 통해 원래 점의 좌표의 부호를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 점 (a,b)를 주어진 순서대로 대칭이동시킵니다.
– x축 대칭: (a, -b)
– y=x 대칭: (-b, a)
2. 최종적으로 이동된 점 (-b, a)가 제2사분면 위에 있습니다.
3. 제2사분면 위의 점은 (x좌표 0) 이므로, -b0 이라는 부등식을 얻습니다.
4. 이 부등식을 통해 a와 b 각각의 부호를 확정하고, 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
각 사분면의 부호 조건을 정확히 알고 있어야 하며, 부등식을 통해 원래 미지수의 부호를 추론하는 과정이 중요합니다.
”
연속 대칭이동과 사분면
