“
연속적인 대칭이동 후, 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(2,4)를 y축에 대해 대칭이동한 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점 P를 원점에 대해 대칭이동한 점 Q의 좌표를 구합니다.
3. 이제 두 점 P와 Q의 좌표를 모두 알았으므로, **두 점 사이의 거리 공식**을 이용해 선분 PQ의 길이를 구합니다.
주의할 점:
이동 순서를 정확히 지켜야 합니다. y축 대칭 후 원점 대칭을 하는 것과, 원점 대칭 후 y축 대칭을 하는 것은 결과가 다를 수 있습니다.
”
연속적인 대칭이동 후 두 점 사이 거리
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대칭이동의 규칙을 이용하여 점의 좌표를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. (x축 대칭) 점 A(3,a)를 x축에 대해 대칭이동한 점 A’의 좌표를 구합니다. (y좌표의 부호만 바뀜)
2. (y=x 대칭) 점 B(5,b)를 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점 B’의 좌표를 구합니다. (x좌표와 y좌표를 서로 바꿈)
3. 두 점 A’과 B’이 일치하므로, 각 좌표 성분이 같다고 등식을 세워 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
각 대칭이동(x축, y축, 원점, y=x)에 따라 점의 좌표가 어떻게 변하는지에 대한 기본 규칙을 정확히 암기하고 있어야 합니다.
”
대칭이동의 기본 규칙
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포물선의 평행이동 규칙을 찾고, 그 규칙을 직선에 적용하여 두 평행한 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 두 포물선을 각각 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다. 두 꼭짓점의 이동을 통해 평행이동 규칙(x축, y축 방향 이동량)을 구합니다.
2. (직선에 적용) 원래 직선 l을 1단계에서 찾은 규칙대로 평행이동하여 새로운 직선 l’의 방정식을 구합니다.
3. 이제 두 직선 l과 l’은 서로 평행합니다. **평행한 두 직선 사이의 거리**를 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
포물선의 이동은 꼭짓점의 이동으로, 직선의 이동은 방정식에 직접 대입하여 구하는 것이 일반적입니다. 두 평행한 직선 사이의 거리 공식을 잊지 말아야 합니다.
”
포물선 이동 규칙으로 평행한 직선 거리 구하기
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평행이동한 포물선과 직선의 두 교점을 잇는 선분의 중점이 원점일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 포물선을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=mx를 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 이 이차방정식의 두 근(α, β)이 바로 두 교점 P, Q의 x좌표입니다.
4. 두 교점 P, Q의 중점이 원점이므로, 중점의 x좌표 (α+β)/2 = 0, 즉 **α+β = 0** 입니다.
5. 2단계에서 세운 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 ‘두 근의 합’이 0이 되도록 하는 m값을 구합니다.
주의할 점:
중점이 원점이라는 조건을 ‘두 교점 x좌표의 합이 0이다’로 변환하고, 이를 근과 계수의 관계로 연결하는 것이 핵심적인 풀이 과정입니다.
”
평행이동한 포물선 교점의 중점 조건
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평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 포물선을 x축으로 a, y축으로 -2만큼 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=x+1이 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 두 도형이 접하면 교점이 하나이므로, 이 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.
4. 따라서, 이차방정식의 판별식 D=0 이라는 등식을 세워 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
포물선과 직선의 위치 관계(두 점/한 점(접함)/만나지 않음)는 연립한 이차방정식의 판별식 D의 부호(D>0, D=0, D
”
평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건
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f(x,y)=0 형태로 주어진 평행이동 규칙을 해석하고, 포물선의 꼭짓점에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 해석) f(x,y)=0 이 f(x-a, y+a)=0 으로 이동하는 것은, 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 -a만큼 평행이동한 것입니다.
2. (꼭짓점 찾기) 원래 포물선의 방정식을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
3. (꼭짓점 이동) 2단계에서 구한 꼭짓점을 1단계의 규칙에 따라 평행이동한 새로운 꼭짓점의 좌표를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 이 새로운 꼭짓점이 직선 y=x+2 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
f(x-a, y-b)=0 형태의 도형 이동 규칙을 정확히 해석해야 합니다. x-a는 x축으로 +a만큼, y+a는 y축으로 -a만큼 이동을 의미합니다.
”
f(x,y)=0 형태의 포물선 평행이동
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원의 평행이동 규칙을 찾아서, 그 규칙을 포물선에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 두 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 각각의 중심을 찾습니다. 첫 번째 중심이 두 번째 중심으로 어떻게 이동했는지 파악하여 평행이동 규칙(x축으로 α, y축으로 β만큼 이동)을 찾습니다.
2. (포물선에 적용) 원래 포물선의 꼭짓점 좌표를 구합니다.
3. 이 꼭짓점을 1단계에서 찾은 평행이동 규칙에 따라 이동시키면, 새로운 포물선의 꼭짓점 (a,b)가 됩니다.
주의할 점:
도형의 종류(원, 포물선)는 다르지만, 적용되는 평행이동 규칙은 동일합니다. 각 도형의 기준점(원의 중심, 포물선의 꼭짓점)의 이동으로 생각하면 편리합니다.
”
원의 평행이동 규칙을 포물선에 적용
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포물선의 평행이동 문제입니다. 두 포물선이 평행이동으로 겹쳐지려면 이차항의 계수가 같아야 합니다.
접근법:
1. 두 포물선의 이차항 계수가 1로 같으므로 평행이동으로 겹칠 수 있습니다.
2. 각 포물선을 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
3. 첫 번째 포물선의 꼭짓점이 두 번째 포물선의 꼭짓점으로 어떻게 이동했는지 x, y 좌표의 변화량을 각각 계산합니다. 이 변화량이 바로 a와 b가 됩니다.
주의할 점:
포물선의 평행이동은 꼭짓점의 평행이동으로 생각하는 것이 가장 간단합니다. 이차항의 계수가 다르면 평행이동으로 겹칠 수 없습니다.
”
포물선의 평행이동과 꼭짓점
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평행이동한 원이 원래 원의 중심을 지나고, 두 원이 공통 접선을 가질 때의 미지수를 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 평행이동한 원 C’이 원래 원 C의 중심(1,0)을 지납니다. 이를 이용해 a, b 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
2. (나) 조건: 두 원 모두 한 직선에 접하므로, 각 원의 중심에서 이 직선까지의 거리가 각 원의 반지름과 같아야 합니다.
3. 두 조건을 연립하여 a, b, r 값을 모두 구합니다.
주의할 점:
두 원이 한 직선에 동시에 접하는 상황을 기하학적으로 그려보면 문제 이해에 도움이 됩니다. 두 원의 중심과 직선의 위치 관계를 정확하게 식으로 표현해야 합니다.
”
평행이동과 공통접선, 중심을 지나는 원
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평행이동한 원이 직선 y=x와 x축에 동시에 접할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원을 평행이동한 새로운 원의 중심 좌표와 반지름을 구합니다.
2. (x축 접촉 조건) 원이 x축에 접하므로, |중심의 y좌표| = 반지름 입니다. 이 식을 통해 a와 b의 관계를 찾습니다.
3. (y=x 접촉 조건) 원이 직선 y=x에 접하므로, 원의 중심과 직선 y=x 사이의 거리가 반지름과 같습니다.
4. 두 조건을 연립하여 a,b 값을 구하고, 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
두 개의 다른 직선(x축, y=x)에 대한 접선 조건을 모두 식으로 표현하고 연립해야 하는 복잡한 문제입니다.
”
평행이동 후 두 직선에 동시 접촉
