“
평행이동과 대칭이동을 거친 원이 특정 점을 지날 때의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원을 주어진 규칙(x축 평행이동 → y축 대칭이동)에 따라 이동시켜 최종 원의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 원이 점 (0,a)를 지나므로, 원의 방정식에 x=0, y=a를 대입합니다.
3. a에 대한 이차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
원의 방정식을 직접 이동시키는 문제입니다. 평행이동은 x→x-a, 대칭이동은 해당 문자를 변환하는 규칙을 정확히 적용해야 합니다.
”
연속 이동한 원이 특정 점을 지날 조건
“
연속적인 이동을 거친 원과 직선이 만나 생기는 현의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원을 주어진 규칙(평행이동 → y=x 대칭)에 따라 이동시켜 최종 원의 방정식을 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘최종 원과 직선이 만나 생기는 현의 길이’를 구하는 것으로 바뀝니다.
3. 최종 원의 중심과 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 피타고라스 정리 **(현의 길이/2)² + d² = r²** 을 이용해 현의 길이를 구합니다.
주의할 점:
원의 이동, 현의 길이 구하기 등 여러 기본 개념이 순차적으로 사용됩니다. 각 단계의 계산을 정확하게 해야 합니다.
”
연속 이동한 원과 직선의 현의 길이
“
연속적인 이동을 거친 원이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원의 중심(0,0)을 주어진 규칙(평행이동 → y=x 대칭)에 따라 이동시켜 최종 원의 중심 좌표를 a를 포함한 식으로 구합니다.
2. 대칭/평행이동을 해도 반지름은 변하지 않습니다.
3. 최종 원의 중심과 직선 4x-3y-3=0 사이의 거리가 반지름 2와 같다는 등식을 세웁니다.
4. a에 대한 절댓값 방정식을 풀어 ‘양수 a’ 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
중심의 이동과 반지름 불변의 원리를 정확히 적용하고, 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 마무리하는 정석적인 문제입니다.
”
연속 이동한 원이 직선에 접할 조건
“
연속적인 이동(평행, 대칭)을 거친 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 이동은 중심의 이동으로 생각합니다. 원래 원의 중심 (-3,1)의 좌표를 찾습니다.
2. 이 중심점을 주어진 규칙(평행이동 → y=x 대칭)에 따라 이동시켜 최종 중심의 좌표를 구합니다.
3. 이 최종 중심점이 직선 y=ax+1 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
원 전체의 방정식을 이동시키는 것보다, 중심점 하나만 이동시키는 것이 계산이 훨씬 간단하고 효율적입니다.
”
연속 이동한 원의 중심이 직선 위
“
대칭이동과 평행이동을 통해 두 원의 중심이 y=x 대칭이 될 조건을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (원 C₁ 찾기) 원 C를 원점에 대해 대칭이동한 원 C₁의 중심 좌표를 구합니다.
2. (원 C₂ 찾기) 원 C를 평행이동한 원 C₂의 중심 좌표를 a,b를 포함한 식으로 구합니다.
3. 두 원 C₁, C₂가 y=x에 대해 대칭이므로, 두 원의 중심 또한 y=x에 대해 대칭입니다.
4. 두 점 (x₁,y₁)과 (x₂,y₂)가 y=x 대칭일 조건은 x₁=y₂, y₁=x₂ 입니다. 이 관계를 이용해 a,b값을 구합니다.
주의할 점:
두 원이 y=x 대칭이라는 것을 두 원의 중심이 y=x 대칭이라는 조건으로 변환하여 푸는 것이 핵심입니다.
”
두 원의 중심이 y=x 대칭이 될 조건
“
평행이동과 대칭이동을 거친 직선이 원과 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 x축 방향으로 a만큼 평행이동하고, 그 결과를 y=x에 대해 대칭이동하여 최종 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. 이 직선 l이 주어진 원에 접하므로, 원의 중심 (-1,3)과 직선 l 사이의 거리가 반지름 √5와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 a에 대한 절댓값 방정식을 세우고, 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙을 순서대로 정확하게 적용하여 최종 직선의 방정식을 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
평행/대칭이동한 직선이 원에 접할 조건
“
두 원의 넓이를 이등분하는 직선을 찾고, 그 직선을 연속적으로 이동시켜 다른 직선과 일치시키는 문제입니다.
접근법:
1. (원래 직선 찾기) 두 원의 넓이를 모두 이등분하는 직선은, 두 원의 중심을 모두 지나는 직선입니다. 두 중심의 좌표를 구해 직선의 방정식을 먼저 찾습니다.
2. (이동 적용) 1단계에서 구한 직선을 주어진 규칙(y축 대칭 → 평행이동)에 따라 이동시켜 최종 직선의 방정식을 구합니다.
3. 이 최종 직선이 y=-3x와 일치해야 하므로, 기울기와 y절편을 비교하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 역으로 생각할 수도 있습니다. y=-3x를 역방향으로 이동시켜 원래의 두 중심을 지나는 직선과 비교하는 방법도 가능합니다.
”
두 원 넓이 이등분 직선의 연속 이동
“
연속적인 이동을 거친 직선이 두 원의 넓이를 동시에 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 y=mx+m+2 를 주어진 규칙에 따라 대칭이동, 평행이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선은 두 원의 넓이를 동시에 이등분하므로, **두 원의 중심을 모두 지나야** 합니다.
3. 각 원의 중심 좌표를 구합니다.
4. 두 중심의 좌표를 최종 직선의 방정식에 각각 대입하면 m과 a에 대한 두 개의 방정식을 얻을 수 있습니다.
5. 이 두 방정식을 연립하여 m과 a값을 구하고, 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
이동 규칙이 복잡하므로 최종 직선의 방정식을 정확히 구하는 것이 중요합니다. ‘넓이를 이등분한다’는 ‘중심을 지난다’로 해석합니다.
”
연속 이동한 직선이 두 원 넓이 동시 이등분
“
연속적인 이동(대칭, 평행)을 거친 직선이 원과 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 y=x에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 x축 방향으로 -2만큼 평행이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선이 원 x²+y²=a 와 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 √a와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세우고, a값을 구한 뒤 25a²을 계산합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙과 원의 접선 조건(d=r)을 모두 정확하게 적용해야 하는 종합 문제입니다.
”
연속 이동한 직선이 원에 접할 조건
“
연속적인 이동(평행, 대칭)을 거친 직선이 특정 점을 지날 때, 원래 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (2,0)을 지나고 기울기가 m인 직선 l의 방정식을 세웁니다.
2. 1단계의 직선을 주어진 순서(y축 평행이동 → x축 대칭이동)에 따라 변환하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
3. 이 최종 직선이 점 (1,2)를 지나므로, 좌표를 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙(y축 평행이동: y→y-a, x축 대칭이동: y→-y)을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
연속 이동 후 특정 점을 지날 조건
