“
604번 문제와 유사하게 f(x,y)=0 형태의 도형을 복합적으로 이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. (이동 규칙 파악) f(x+1, 2-y)=0은 f(x+1, -(y-2))=0으로 변환하여 해석합니다.
– f(x, -y) : x축 대칭
– f((x+1), -(y-2)) : x축 대칭 후, x축으로 -1만큼, y축으로 2만큼 평행이동
2. (도형에 적용) 주어진 ‘L’자 모양의 도형을 1단계에서 분석한 순서대로 이동시킵니다.
3. x축 대칭을 먼저 시킨 뒤, 그 결과를 x축으로 -1칸, y축으로 2칸 옮겨 최종 모양을 찾습니다.
주의할 점:
f(…, 2-y)와 같은 표현은 f(…, -(y-2))로 바꾸어 대칭이동과 평행이동을 분리해서 생각하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.
”
원을 직선에 대해 대칭이동
“
대칭이동과 평행이동을 거친 도형 위의 점과 원점 사이의 거리의 최대/최소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 f(-x-1, -y-1)=0 이 나타내는 도형이 어떤 도형인지 찾습니다. 이는 f(x,y)=0을 원점 대칭한 후, x축으로 -1만큼, y축으로 -1만큼 평행이동한 도형입니다.
2. 원래 도형의 꼭짓점들을 1단계의 규칙에 따라 이동시켜, 새로운 도형의 꼭짓점 좌표를 모두 구합니다.
3. **(최댓값 M)** 새로운 도형의 꼭짓점들 중 원점에서 가장 먼 점까지의 거리를 구합니다.
4. **(최솟값 m)** 새로운 도형의 변들 중 원점에서 가장 가까운 변(직선)까지의 거리를 구합니다.
5. M²과 m²을 더하여 답을 구합니다.
주의할 점:
최솟값은 꼭짓점까지의 거리가 아닐 수 있습니다. 원점에서 도형의 각 변을 포함하는 직선까지의 거리를 구해보고, 그 중 가장 짧은 거리가 도형의 경계 내에 있는지 확인해야 합니다.
”
두 점이 직선에 대해 대칭일 때 축 찾기
“
주어진 도형을 이동시켜 다른 도형과 겹쳐지게 하는 이동 규칙을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 도형 A의 기준점(예: 우측 상단 꼭짓점 (2,3))과 도형 B의 기준점(-1,-1)을 비교하여, 단순 평행이동만으로는 겹쳐지지 않음을 확인합니다.
2. 각 보기의 이동 규칙을 하나씩 도형 A에 적용해 봅니다.
– (ㄱ, ㄴ) 평행이동만으로는 불가능합니다.
– (ㄷ) 원점 대칭 후 평행이동
– (ㄹ) y=x 대칭 후 평행이동
3. 각 변환을 도형 A의 꼭짓점들에 적용하여, 그 결과가 도형 B의 꼭짓점들과 일치하는 경우를 모두 찾습니다.
주의할 점:
하나의 이동으로 표현되지 않을 수 있습니다. 대칭이동과 평행이동이 결합된 복합적인 변환을 고려해야 합니다.
”
점의 직선 대칭이동 (중점, 수직)
“
f(x,y)=0으로 표현된 도형(삼각형)을 이동시킨 후, 그 도형의 무게중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (이동 규칙 파악) f(-y+4, x+3)=0은 f(x,y)=0에 어떤 변환을 적용한 것인지 분석합니다. 이는 점 (x,y)를 점 (-y+4, x+3)으로 옮기는 변환으로 해석할 수 있습니다.
2. (무게중심 이동) 원래 삼각형 ABC의 무게중심 G를 먼저 구합니다.
3. 1단계에서 파악한 이동 규칙에 따라 점 G를 이동시킨 새로운 점 G’의 좌표를 구합니다. 이 점이 이동된 도형의 무게중심 (a,b)가 됩니다.
4. (다른 해석) f(y, -x) : y=x 대칭 후 x축 대칭 → f(y-4, -(x+3)) : 이후 평행이동. 이 방법은 복잡합니다.
주의할 점:
도형의 각 꼭짓점을 모두 이동시켜 새로운 무게중심을 구하는 것보다, 원래 무게중심을 한 번만 이동시키는 것이 훨씬 효율적입니다.
”
점대칭 포물선과 직선 교점의 원점 대칭
“
주어진 도형을 이동시켜 특정 모양이 되는 이동 규칙을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 이동 규칙이 어떤 변환을 의미하는지 분석합니다.
– (ㄱ) f(x+1, -y) : y축 대칭 후 x축으로 -1만큼 평행이동
– (ㄴ) f(x-1, -y) : y축 대칭 후 x축으로 1만큼 평행이동
– (ㄷ) f(1-x, y) = f(-(x-1), y) : y축 대칭 후 x축으로 1만큼 평행이동
2. 각 변환을 [그림 1]의 도형에 적용했을 때, 그 결과가 [그림 2]와 일치하는지 확인합니다.
3. ㄴ과 ㄷ은 동일한 변환이므로, 둘 중 하나만 확인하면 됩니다.
주의할 점:
f(1-x, …)와 같은 표현은 f(-(x-1), …)로 변환하여 대칭이동과 평행이동을 분리해서 생각하는 것이 중요합니다.
”
두 포물선의 점대칭 조건
“
604번 문제와 유사하게, f(x,y)=0 형태의 도형을 복합적으로 이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. (이동 순서 파악) f(-x+1, -y+2)=0 이 되기까지의 과정을 분석합니다.
– f(-x,-y) : 원점 대칭
– f(-(x-1), -(y-2)) : 원점 대칭 후, x축으로 1만큼, y축으로 2만큼 평행이동
2. (도형에 적용) 주어진 원 모양의 도형을 1단계의 순서대로 이동시킵니다.
3. 원래 원의 중심을 원점 대칭시킨 뒤, 그 결과를 x축으로 1칸, y축으로 2칸 옮기면 최종 도형의 위치를 쉽게 찾을 수 있습니다.
주의할 점:
복잡한 도형의 이동은 도형 전체를 옮기기보다, 도형의 특징적인 점(원의 중심, 다각형의 꼭짓점)을 먼저 이동시킨 후 그 점을 기준으로 도형을 다시 그리는 것이 편리합니다.
”
점대칭 이동한 직선과 원의 현의 길이
“
f(x,y)=0으로 표현된 도형을 복합적으로 이동시키는 문제입니다. 이동의 순서를 정확히 파악해야 합니다.
접근법:
1. (이동 순서 파악) f(-x+2, y+1)=0은 f(x,y)=0을 어떻게 이동시킨 것인지 분석합니다.
– f(-x,y) : y축 대칭
– f(-(x-2), y+1) : y축 대칭 후, x축으로 2만큼, y축으로 -1만큼 평행이동
2. (도형에 적용) 주어진 ‘L’자 모양의 도형을 1단계에서 분석한 순서대로 이동시킵니다.
3. y축 대칭을 먼저 시킨 뒤, 그 결과를 x축으로 2칸, y축으로 -1칸 옮겨 최종 모양을 찾습니다.
주의할 점:
f(-x+2, …)와 같이 x항의 계수가 -1일 때는 f(-(x-2), …) 형태로 묶어서 평행이동량을 파악해야 실수를 줄일 수 있습니다.
”
점대칭 이동한 직선이 원에 접할 조건
“
대칭이동과 평행이동을 거친 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 포물선 y=-x²을 주어진 규칙(y축 대칭 → 평행이동)에 따라 이동시켜 최종 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=2x+3이 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 두 도형이 접하면 교점이 하나이므로, 이 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.
4. 따라서, 이차방정식의 판별식 D=0 이라는 등식을 세워 미지수 m값을 구합니다.
주의할 점:
포물선과 직선의 위치 관계(접한다)는 연립한 이차방정식의 판별식 D=0으로 해결한다는 점을 기억해야 합니다.
”
점대칭 이동한 원의 중심
“
대칭이동과 평행이동을 거친 포물선이 y축과 만나는 점(y절편)의 좌표를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (원점 대칭) 포물선 y=x²-2x+a-8을 원점에 대해 대칭이동합니다. (x→-x, y→-y)
2. (x축 평행이동) 1단계에서 얻은 포물선을 x축 방향으로 3만큼 평행이동합니다. (x→x-3)
3. 최종적으로 이동된 포물선이 y축과 만나는 점의 y좌표가 2라고 했습니다.
4. 최종 포물선의 방정식에 x=0을 대입한 값이 2가 되도록 하는 a값을 구합니다.
주의할 점:
y축과 만나는 점은 x좌표가 0인 점입니다. 대칭이동과 평행이동을 거친 최종 식에 x=0을 정확히 대입해야 합니다.
”
점대칭과 평행이동의 순차 적용
“
평행이동과 대칭이동이 순차적으로 적용된 포물선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동) 먼저 포물선 y=-x²+4x+k를 x축으로 1만큼, y축으로 -2만큼 평행이동한 식을 구합니다. (x 대신 x-1, y 대신 y+2 대입)
2. (x축 대칭) 1단계에서 얻은 포물선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y 대입)
3. 최종적으로 이동된 포물선의 방정식과 문제에서 주어진 y=-x²-6x+5가 서로 일치해야 합니다.
4. 두 방정식의 계수를 비교하여 상수항으로부터 미지수 k의 값을 찾습니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙(평행이동은 부호 반대, 대칭이동은 해당 문자 변환)을 순서대로 정확하게 적용하는 것이 중요합니다.
”
점대칭 이동한 직선의 방정식
