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직선 대칭 이동한 두 원 사이의 거리의 최대/최소를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 원 C₂는 원 C₁을 직선에 대해 대칭이동한 것입니다. 원 C₁의 중심을 직선에 대해 대칭이동시켜 원 C₂의 중심 좌표를 구합니다. (중점 조건 + 수직 조건)
2. [2단계] 두 원 C₁, C₂ 위의 점 사이의 거리의 최댓값 M = (두 중심 사이의 거리) + r₁ + r₂, 최솟값 m = (두 중심 사이의 거리) – r₁ – r₂ 입니다.
3. [3단계] M과 m을 곱하여 답을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동 후에도 반지름은 변하지 않습니다. 두 원 사이의 거리 최대/최소 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
접선과 평행선, 교점 좌표 구하기
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포물선의 평행이동 규칙을 찾아 직선에 적용하고, 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 두 포물선의 꼭짓점을 각각 찾아, 꼭짓점의 이동을 통해 평행이동 규칙(x축, y축 이동량)을 구합니다.
2. [2단계] 1단계에서 구한 규칙을 직선 l에 적용하여 평행이동한 직선 l’의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 두 평행한 직선 l과 l’ 사이의 거리를 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
552번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계의 계산 과정을 명확하게 보여주어야 합니다.
”
내접 삼각형 둘레의 최솟값
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평행이동한 원이 특정 점을 지나고, 넓이가 이등분될 조건을 연립하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 평행이동한 원의 방정식에 점 (2,-2)를 대입하여 a,b에 대한 관계식을 구합니다.
2. [2단계] 평행이동한 원의 넓이를 직선이 이등분하므로, 원의 중심이 직선 위에 있습니다. 이를 이용해 두 번째 관계식을 구합니다.
3. [3단계] 두 관계식을 연립하여 a,b 값을 찾고, 이 평행이동 규칙을 점 (-1,7)에 적용합니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 각각 식으로 정확히 옮기고, 연립방정식을 풀어 평행이동 규칙(a,b)을 확정하는 것이 핵심입니다.
”
연속 평행이동과 원과 직선의 교점
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원의 이동과 포물선의 이동, 그리고 접선 조건이 모두 포함된 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 원을 대칭이동, 평행이동한 최종 원이 x,y축에 동시에 접할 조건을 이용해 a,b값을 구합니다.
2. [2단계] 주어진 포물선을 a,b값만큼 평행이동하여 최종 포물선의 꼭짓점 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 2단계의 꼭짓점을 중심으로 하고 직선에 접하는 원의 반지름은, 중심과 직선 사이의 거리와 같습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 반지름을 구합니다.
주의할 점:
문제의 각 단계에서 요구하는 바를 정확히 파악하고, 이전 단계에서 구한 값을 다음 단계에 올바르게 적용해야 합니다.
”
y=x 대칭과 수직이등분선의 활용
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평행이동과 대칭이동을 거친 포물선이 x축에 접할 조건을 이용하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 포물선을 x축 방향으로 -2만큼 평행이동한 식을 구합니다.
2. [2단계] 1단계의 포물선을 원점에 대해 대칭이동한 식을 구합니다.
3. [3단계] 최종 포물선이 x축에 접하므로, 이 포물선의 방정식에 y=0을 대입한 이차방정식의 판별식 D=0 이어야 합니다. 이를 이용해 a값을 구합니다.
주의할 점:
포물선이 x축에 접한다는 것은, 포물선의 꼭짓점의 y좌표가 0이라는 조건과도 같습니다. 표준형으로 바꿔서 푸는 방법도 가능합니다.
”
대칭이동 후 공통부분의 넓이
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기울어진 직선에 대한 대칭이동을 포함하는 최단 거리 문제입니다. 회전변환의 개념으로 접근하면 편리합니다.
접근법:
1. 정류소 A를 도로 l(x축)에 대해 대칭이동한 점 P를 구합니다.
2. 정류소 A를 도로 m(y=x)에 대해 대칭이동한 점 Q를 구합니다.
3. 구하려는 최단 거리는 두 대칭점 P와 Q 사이의 직선 거리입니다.
4. 두 점 P, Q의 좌표를 구해 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
직선 y=x에 대한 대칭점은 (x,y) → (y,x)로 쉽게 구할 수 있습니다. 두 번의 대칭이동을 통해 꺾인 경로를 직선으로 만드는 것이 핵심입니다.
”
대칭이동 후 삼각형 넓이 비
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평행이동을 통해 최단 거리를 구하는 문제입니다. 강을 건너는 문제의 대표적인 유형입니다.
접근법:
1. 횡단보도를 건너는 것은 y축 방향으로 20만큼 이동하는 것과 같습니다.
2. 학교 A와 도서관 B 사이의 최단 거리를 구하기 위해, 한 점(예: 학교 A)을 횡단보도의 이동 벡터만큼 **평행이동** 시킵니다.
3. 즉, 학교 A를 y축 방향으로 -20만큼 평행이동한 점 A’을 구합니다.
4. 최단 거리는 **평행이동한 점 A’과 원래 점 B 사이의 직선 거리**에 **횡단보도의 길이(20m)**를 더한 값입니다.
주의할 점:
강이나 도로처럼 폭이 있는 장애물을 건너는 최단 거리는, 대칭이동이 아닌 평행이동을 이용한다는 점을 기억해야 합니다.
”
대칭이동과 원의 최대/최소 거리
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정사각형 내부에서 연속적인 대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다.
접근법:
1. 경로가 거쳐가는 변(BC, CD)에 대해 시작점(F)과 끝점(E)을 대칭이동합니다.
2. 점 F를 변 BC(x축)에 대해 대칭이동한 점 F’을 구합니다.
3. 점 E를 변 CD(y축)에 대해 대칭이동한 점 E’을 구합니다.
4. FP+PQ+QE의 최솟값은 대칭된 두 점 F’과 E’ 사이의 직선 거리와 같습니다.
5. 정사각형의 성질과 내분점, 중점의 정의를 이용해 E와 F의 좌표를 먼저 구한 뒤, 대칭점의 좌표를 찾아 거리를 계산합니다.
주의할 점:
정사각형을 좌표평면 위에 올려놓고 각 점의 좌표를 정확히 설정하는 것이 첫 단계입니다.
”
연속 대칭이동을 이용한 최단 거리
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x축과 y축을 모두 거치는 경로의 최단 거리를 구하는 문제입니다. 626번과 동일한 원리입니다.
접근법:
1. 주어진 상황을 좌표평면 위에 설정합니다.
2. 시작점 S를 x축에 대해 대칭이동한 점 S’을 구합니다.
3. 시작점 S를 y축에 대해 대칭이동한 점 S”을 구합니다.
4. SA+AB+BS의 최솟값은 대칭점 S’과 S” 사이의 거리가 아닌, A’SB’ 와 같이 각 경로에 맞는 대칭점을 찾아야 합니다. (이 문제는 A, B가 고정점이 아니므로 다른 접근이 필요합니다.)
5. (해설 접근) 점 A를 x축 대칭, 점 S를 y축 대칭하여 세 점이 일직선이 되는 경우를 찾습니다.
주의할 점:
움직이는 점과 고정된 점이 무엇인지 명확히 구분하고, 경로에 맞게 적절한 대칭이동을 적용해야 합니다.
”
대칭이동을 이용한 최단 거리
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좌표 설정을 통해 실생활 최단 거리 문제를 해결하는 대표적인 유형입니다.
접근법:
1. 시냇가를 x축으로 설정하고, 한 지점 P를 원점으로 둡니다. 그러면 A(0,40), Q(90,0), B(90,80)으로 좌표를 설정할 수 있습니다.
2. 소가 시냇가의 한 지점 R을 거쳐 B로 가는 경로(AR+RB)의 최단 거리를 구해야 합니다.
3. 이는 한 점(A)을 대칭축(x축)에 대해 대칭이동한 점 A’을 구한 뒤, A’과 B를 잇는 직선 거리를 구하는 것과 같습니다.
4. 점 A'(0,-40)과 B(90,80) 사이의 거리를 계산하면 최단 거리가 나옵니다.
주의할 점:
실생활 문제를 적절한 좌표평면으로 옮겨오는 모델링 과정이 가장 중요합니다. 어떤 것을 축으로 설정할지, 어떤 점을 원점으로 할지에 따라 계산의 편의성이 달라집니다.
”
이동 후 삼각형 넓이 최대와 원래 점
