“
대칭이동을 이용한 최단 거리 값이 주어졌을 때, 원래 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 제1사분면 위의 점 A를 (a,b) (a>0, b>0)로 설정합니다.
2. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 B(b,a)를 구합니다.
3. 점 A를 x축에 대해 대칭이동한 점 A'(a,-b)를 구합니다.
4. AP+PB의 최솟값은 **선분 A’B의 길이**와 같습니다. 이 길이가 10√2라고 주어졌습니다.
5. 두 점 A’, B 사이의 거리 공식을 이용해 a,b에 대한 식을 세우고, 이 값이 10√2와 같다고 놓습니다.
6. 식을 정리하면 a와 b의 관계를 알 수 있고, 이를 통해 원점과 A 사이의 거리 OA를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
최단 거리 문제를 역으로 풀어가는 과정입니다. 대칭이동의 원리를 정확히 이해하고 있어야 방정식을 올바르게 세울 수 있습니다.
”
평행이동을 이용한 최단 거리(강 건너기)
“
x축과 직선 y=x를 모두 거쳐 가는 경로의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 시작점 A를 점 C가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A₁을 구합니다.
2. 시작점 A를 점 B가 움직이는 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점 A₂를 구합니다.
3. 삼각형 ABC의 둘레의 최솟값은, 최종적으로 이동된 두 점 **A₁과 A₂를 직선으로 이은 거리**와 같습니다.
4. 두 점 A₁, A₂ 사이의 거리를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
움직이는 점이 어느 직선(또는 축) 위에 있는지에 따라, 고정된 점을 그 직선(또는 축)에 대해 대칭이동시켜야 합니다.
”
정사각형 내부 경로의 최단 거리
“
대칭이동과 원과 점 사이의 거리 개념을 결합한 최단 거리 문제입니다.
접근법:
1. AP+PQ의 최솟값을 구해야 합니다. 점 A를 P가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
2. 그러면 AP+PQ = A’P+PQ 가 되고, 이 값의 최솟값은 점 A’과 원 위의 점 Q 사이의 거리의 최솟값과 같습니다.
3. 이제 문제는 ‘원 밖의 한 점(A’)과 원 위의 점(Q) 사이의 거리의 최솟값’을 구하는 것으로 바뀝니다.
4. 원의 중심 C와 점 A’ 사이의 거리 d를 구하고, 최솟값 **d – r** (r은 반지름)을 계산합니다.
주의할 점:
대칭이동을 통해 꺾인 경로를 직선 경로로 변환하는 것이 첫 단계입니다. 그 후 원의 최대/최소 거리 공식을 적용합니다.
”
x,y축을 모두 거치는 경로의 최단 거리
“
626번 문제와 동일하게, x축과 y축을 모두 거쳐 가는 경로의 최단 거리를 이용해 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(4,1)를 y축에 대해 대칭이동한 점 A'(-4,1)을 구합니다.
2. 점 B(2,5)를 x축에 대해 대칭이동한 점 B'(2,-5)를 구합니다.
3. 사각형 둘레의 최솟값은 **(선분 A’B’의 길이) + (원래 선분 AB의 길이)** 가 됩니다.
4. 이 문제에서는 최단 경로일 때의 직선 PQ의 기울기를 묻고 있습니다.
5. 최단 경로는 직선 A’B’ 위에 점 P, Q가 있을 때이므로, **직선 A’B’의 기울기**를 구하면 됩니다.
주의할 점:
최단 경로를 만드는 점 P, Q는 대칭이동한 두 점을 잇는 직선과 원래 축들의 교점이라는 사실을 이해해야 합니다.
”
좌표 설정을 통한 실생활 최단 거리
“
연속적인 대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다. 점이 x축과 y축을 모두 거쳐 갑니다.
접근법:
1. 점이 거쳐가는 축(또는 직선)에 대해 시작점과 끝점을 순차적으로 대칭이동시킵니다.
2. 점 A(3,7)를 y축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
3. 점 B(6,2)를 x축에 대해 대칭이동한 점 B’을 구합니다.
4. AQ+QP+PB의 최솟값은, 최종적으로 이동된 두 점 **A’과 B’을 직선으로 이은 거리**와 같습니다.
5. 두 점 A’과 B’ 사이의 거리를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
각 점이 어떤 축을 거쳐 가는지에 따라 대칭시킬 축이 결정됩니다. Q는 y축 위, P는 x축 위를 움직이므로 각각의 축에 대해 대칭이동을 적용합니다.
”
y=x를 이용한 연속 대칭과 최단 거리
“
대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 문제에서, 최솟값을 갖게 하는 직선 위의 점 P의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 624번과 같이, 한 점(예: B)을 대칭축(y=x)에 대해 대칭이동한 점 B’을 구합니다.
2. AP+BP의 최솟값은 선분 AB’의 길이입니다.
3. 최솟값을 갖게 하는 점 P는, **직선 AB’과 대칭축(y=x)의 교점**입니다.
4. 두 점 A, B’을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
5. 이 직선과 y=x를 연립하여 교점 P의 좌표를 찾습니다.
주의할 점:
최솟값(거리)을 묻는 것과, 최소가 되게 하는 점의 좌표를 묻는 것을 구분해야 합니다. 점의 좌표를 찾으려면 대칭점과 원래 점을 잇는 직선과 대칭축의 교점을 구해야 합니다.
”
최단 거리 조건과 좌표의 관계
“
대칭이동을 이용한 거리의 최솟값을 구하는 가장 대표적인 유형입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B는 직선 l에 대해 같은 쪽에 있습니다. 이 경우, 한 점(예: 점 A)을 직선 l에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
2. AP+PB의 최솟값은 **선분 A’B의 길이**와 같습니다. (AP=A’P이므로, A’PB가 일직선이 될 때 최소)
3. 점 A’의 좌표를 구하고, 두 점 A’과 B 사이의 거리를 계산하면 그것이 최솟값이 됩니다.
주의할 점:
두 점이 직선을 기준으로 같은 쪽에 있는지, 다른 쪽에 있는지 먼저 판단해야 합니다. 같은 쪽에 있을 때만 대칭이동을 활용합니다.
”
원 위의 점과 축 위의 점을 잇는 최단 거리
“
점을 직선에 대해 대칭이동시킨 후, 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 점 P(1,5)를 직선 x-3y+4=0에 대해 대칭이동한 점 Q의 좌표를 구합니다. (618번 참고: 중점 조건 + 수직 조건)
2. 이제 세 꼭짓점 O(0,0), P(1,5), Q(구한 좌표)의 좌표를 모두 알게 되었습니다.
3. 신발끈 공식을 이용하거나, 한 변을 밑변으로 하고 높이를 구해 삼각형 OPQ의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
점의 직선 대칭 이동 계산을 정확하게 하는 것이 첫 단계입니다. 연립방정식을 푸는 과정에서 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
대칭이동과 원과 점 사이 거리(응용)
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한 직선을 다른 직선에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. **(방법 1: 자취 이용)** 대칭이동시킬 직선 위의 임의의 점 P(a,b)를 대칭축 직선에 대해 대칭이동한 점을 Q(x,y)라 합니다. 중점 조건과 수직 조건을 이용해 a,b를 x,y로 표현하고, 이를 원래 직선에 대입하여 자취를 구합니다.
2. **(방법 2: 교점과 한 점 이용)** 원래 직선과 대칭축의 교점은 이동 후의 직선도 지납니다. 원래 직선 위의 다른 한 점을 잡아 대칭이동시킨 점을 구합니다. 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
직선의 직선 대칭은 계산이 복잡하므로, 교점을 먼저 찾고 다른 한 점만 대칭이동시켜 두 점을 잇는 방법(방법 2)이 일반적으로 더 효율적입니다.
”
두 개의 다른 직선을 거치는 최단 거리
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두 원이 한 직선에 대하여 서로 대칭일 때, 그 대칭축 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원이 한 직선에 대해 대칭이므로, 두 원의 반지름은 같아야 합니다. (문제에서 반지름이 같음을 확인)
2. 대칭축인 직선은, 두 원의 중심을 잇는 선분의 수직이등분선입니다.
3. 두 원의 중심 좌표를 각각 구합니다.
4. 619번 문제와 동일하게, 두 중심을 잇는 선분의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
5. 구한 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
두 도형이 직선 대칭이라는 것은, 그 직선이 두 도형의 ‘대응점(원의 경우 중심)’을 잇는 선분의 수직이등분선이라는 기하학적 의미를 파악하는 것이 중요합니다.
”
최단 경로 직선의 대칭이동
