고등대수 연산 로그함수 그래프 그리기와 성질 파악 연습 – 기본 다지기

x = 1/2 → y = log₂(1/2) = −1 → (1/2, −1)

x = 1 → y = log₂1 = 0 → (1, 0)

x = 4 → y = log₂4 = 2 → (4, 2)

💡 (1, 0)은 모든 로그함수가 지나는 필수 좌표. (a, 1)은 밑을 읽어내는 좌표!

밑 = 1/3,  0 < 1/3 < 1 이므로 → 감소함수

점근선: x = 0 (y축)

정의역: x > 0  │  치역: 모든 실수

💡 지수함수 (1/3)ˣ가 감소였듯이, 로그함수 log_1/3x도 감소. 역함수 관계이므로 증가/감소가 보존된다.

점 (9, 2)를 대입: logₐ9 = 2 → a² = 9

a > 0, a ≠ 1 이므로 a = 3

💡 “그래프가 점을 지난다” = 좌표를 함수에 대입. 지수함수 포스트 Q3과 같은 패턴!

log_1/2x = log_2⁻¹x = −log₂x

y = −log₂x는 y = log₂x에서 y → −y로 바꾼 것

∴ x축에 대해 대칭

💡 지수함수에서 y = aˣ와 y = (1/a)ˣ가 y축 대칭이었던 것과 비교! 로그함수는 x축 대칭.

밑이 모두 1보다 크고, x > 1에서 로그값은 양수.

밑이 작을수록 같은 x에 대해 로그값이 크다 (더 적게 곱해도 도달하니까).

2 < 3 < 5 이므로

x > 1에서: log₂x > log₃x > log₅x > 0

💡 지수함수에서는 밑이 클수록 값이 컸지만, 로그함수에서는 반대! (x > 1일 때) 0 < x < 1에서는 또 뒤집힌다.

역함수 관계: y = x 대칭 → x좌표와 y좌표를 교환

(3, 8) → (8, 3)

검산: log₂8 = log₂2³ = 3 ✓

💡 지수함수의 좌표를 뒤집으면 로그함수의 좌표! 이 관계를 이용하면 로그함수 그래프를 빠르게 그릴 수 있다.

logₐ(1/8) = 3 → a³ = 1/8 = (1/2)³ → a = 1/2

∴ y = log_1/2x

· 밑 0 < 1/2 < 1 → 감소함수

· x절편: (1, 0)  │  (2, −1)  │  (1/2, 1)

· 점근선: x = 0 (y축)  │  정의역: x > 0  │  치역: 모든 실수

· x → 0⁺일 때 y → +∞,  x → +∞일 때 y → −∞

증가함수 → a > 1

점 (4, −2) 대입: logₐ4 = −2 → a⁻² = 4 → a² = 1/4 → a = 1/2

그런데 a = 1/2 < 1 → 증가함수 조건(a > 1)과 모순!

∴ 조건을 만족하는 a는 존재하지 않는다.

⚠ “증가함수이고 점 (4, −2)를 지난다”는 것은 불가능! a > 1인 로그함수에서 x = 4 > 1이면 y = logₐ4 > 0이어야 하므로 y = −2가 될 수 없다. 조건의 모순을 발견하는 것도 실력!