📐 단원 분석 — 수능에서 ‘직선의 방정식’이 차지하는 자리
‘직선의 방정식’은 도형의 방정식 단원의 출발점이자, 이후 원의 방정식·도형의 이동·이차곡선으로 이어지는 좌표기하의 기본 언어입니다. 수능 고득점의 핵심은 ‘조건을 식으로 정확히 번역하는 능력’인데, 직선 단원은 그 번역 훈련의 표준 무대가 됩니다.
그중 유형08 ‘두 직선의 위치 관계’는 평행·수직·일치·한 점에서 만남이라는 네 가지 판정을 일반형 계수비와 기울기 조건 두 언어로 자유롭게 오갈 수 있는지를 묻습니다. 이 유형은 단독 출제뿐 아니라 수직이등분선·외심·삼각형의 넓이·점과 직선 사이의 거리와 결합되어 빈출되므로, 위치 관계 판정은 반드시 ‘무의식 수준’까지 끌어올려야 합니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심맥락
이 문제는 한 직선이 다른 두 직선에 대해 각각 ‘수직’과 ‘평행’ 관계를 동시에 만족하는 상황을 줍니다. 즉 두 가지 위치 관계 조건을 동시에 적용해 미지수 a, b에 대한 두 개의 관계식을 확보한 뒤, 마지막에 곱셈공식의 변형으로 식의 값을 계산하는 ‘조건 번역 + 대수 계산’ 통합형입니다.
풀이 흐름 한눈에 보기
- 수직 조건 적용 → 두 직선의 일반형에서 aa′+bb′=0 꼴로 한 관계식(곱 ab에 관한 식) 확보
- 평행 조건 적용 → 일반형 계수비 a/a′ = b/b′ ≠ c/c′ 로 또 다른 관계식(합 a+b에 관한 식) 확보
- 두 관계식을 곱셈공식 변형 a3+b3 = (a+b)3 − 3ab(a+b) 에 대입 → 목표 식 계산
💡 포인트 — 평행을 “계수비가 같다”로, 수직을 “aa′+bb′=0”으로 일반형 그대로 처리하면 부호 실수를 줄일 수 있습니다. 평행 조건에서는 ‘≠ c/c′(일치가 아님)’ 까지 확인하는 습관이 중요합니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 키워드 (단원 밖 연계 개념)
이 문제의 마지막 계산은 직선 단원이 아니라 공통수학1(다항식)의 곱셈공식에서 나옵니다.
※ 위치 관계(평행·수직) 자체의 개념은 아래 §5 개념정리에서 다룹니다.
🎬 해설 동영상
📝 해설 이미지
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이 문제의 위치 관계 판정을 탄탄히 하려면 아래 개념을 순서대로 확인하세요.
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조건 번역 속도를 끌어올리는 반복 훈련 세트입니다.