📌 핵심 — 등식 mAB = nBC 를 비율로 바꾼다
직선 AB 위의 점 C가 mAB = nBC 를 만족할 때, 양변을 비교하면
AB : BC = n : m ⟹ BC = (m / n) · AB
즉 점 C는 점 B에서 출발해 A→B 방향(또는 그 반대 방향)으로 AB의 (m/n)배만큼 더 간 점입니다. 벡터로 옮기면
C = B ± (m / n)(B − A)
⚡ 방향이 정해져 있지 않으면 두 경우 — C가 직선 AB 위에 있다는 조건만 주어지면,
＋(B의 연장선, A 반대쪽) 과 −(A 쪽) 두 점이 모두 답이 됩니다. (B방향 연장선이라고 명시되면 ＋ 한 가지만)
아래 문제로 등식 → 비율(BC = (m/n)AB) → C = B ± (m/n)(B−A) 대입의 흐름을 손에 익혀 보세요. B−A를 먼저 구해 두면 계산이 한결 간단해집니다.
기본형 — 방향이 주어진 경우 좌표 구하기
기본 1. 두 점 A(1, 2), B(4, 8)에 대하여, 점 C는 선분 AB의 연장선 위(B에 대하여 A의 반대쪽)에 있고 AB = BC 이다. 점 C의 좌표를 구하여라.
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B − A = (4 − 1, 8 − 2) = (3, 6)
C = B + 1·(B − A) = (4, 8) + (3, 6) = (7, 14)
기본 2. 두 점 A(−1, 3), B(2, 9)에 대하여, 점 C는 선분 AB의 B방향 연장선 위에 있고 2AB = BC 이다. 점 C의 좌표를 구하여라.
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B − A = (2 − (−1), 9 − 3) = (3, 6)
C = B + 2·(B − A) = (2, 9) + (6, 12) = (8, 21)
기본 3. 두 점 A(1, 1), B(3, 7)에 대하여, 점 C는 선분 AB의 B방향 연장선 위에 있고 3AB = 2BC 이다. 점 C의 좌표를 구하여라.
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B − A = (3 − 1, 7 − 1) = (2, 6)
(3/2)(B − A) = (3, 9)
C = B + (3, 9) = (3, 7) + (3, 9) = (6, 16)
응용형 — 방향이 주어지지 않은 두 경우
응용 1. 두 점 A(1, 2), B(5, 8)에 대하여, 직선 AB 위의 점 C가 AB = 2BC 를 만족한다. 점 C가 될 수 있는 좌표를 모두 구하여라.
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“직선 AB 위”라고만 했으므로 ＋·− 두 경우를 모두 본다.
B − A = (5 − 1, 8 − 2) = (4, 6) ⟹ (1/2)(B − A) = (2, 3)
① 연장선(A 반대쪽, ＋): C = (5, 8) + (2, 3) = (7, 11)
② A 쪽(−): C = (5, 8) − (2, 3) = (3, 5)
∴ 점 C의 좌표는 (7, 11) 또는 (3, 5)
응용 2. 두 점 A(1, 2), B(3, 4)에 대하여, 직선 AB 위의 점 C가 3AB = 2BC 를 만족한다. 점 C가 될 수 있는 두 점 사이의 거리를 구하여라.
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B − A = (3 − 1, 4 − 2) = (2, 2) ⟹ (3/2)(B − A) = (3, 3)
① ＋: C₁ = (3, 4) + (3, 3) = (6, 7)
② −: C₂ = (3, 4) − (3, 3) = (0, 1)
두 점 사이의 거리:
C₁C₂ = √{(6 − 0)² + (7 − 1)²} = √(36 + 36) = √72 = 6√2
⚠ 자주 나오는 실수
- 비율을 거꾸로 — mAB = nBC 에서 BC = (m/n)AB 이다. 계수가 큰 쪽이 AB가 아니라 등호 반대편으로 넘어간다는 점에 주의.
- (B − A)와 (A − B) 혼동 — 기준점은 항상 B이고, B에서 A의 반대 방향(＋)으로 가는 것이 연장선이다. 빼는 순서를 바꾸면 부호가 통째로 뒤집힌다.
- 두 경우를 빠뜨림 — “직선 AB 위”라고만 하면 답이 2개. “B방향 연장선”처럼 방향이 명시될 때만 1개다.
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