📌 핵심 — 등식 mAB = nBC 를 비례식으로 바꾸기
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있고 m·AB = n·BC 라는 조건이 주어지면, 이것을 먼저 길이의 비로 바꿉니다.
m·AB = n·BC ⟹ AB : BC = n : m
계수 m, n이 서로 반대쪽으로 교차해서 비에 들어간다는 점이 가장 중요합니다.
비를 구한 뒤에는 B를 선분 AC의 내분점으로 보고 내분점 공식을 거꾸로 풀어 점 C를 찾습니다.
왜 AB:BC = n:m 일까? — 조건 해석과 C 찾는 법
1단계 — 등식을 비례식으로. m·AB = n·BC 의 양변을 AB·BC로 정리하거나, 그대로 비로 옮기면
m·AB = n·BC → AB / BC = n / m → AB : BC = n : m
예를 들어 2AB = 3BC 이면 AB : BC = 3 : 2 입니다. (2가 BC 쪽이 아니라 AB 쪽으로 넘어가는 것에 주의)
2단계 — 점 C의 위치 파악.
문제에서 “점 B 방향의 연장선 위의 점 C”라고 하면 세 점은 A — B — C 순서로 놓입니다. 이때 B는 선분 AC를 AB : BC = n : m 으로 내분하는 점이 됩니다.
3단계 — 내분점 공식을 거꾸로 풀어 C 구하기.
B는 A, C를 n:m으로 내분하는 점이므로
B = ( m·A + n·C ) / ( n + m )
양변을 정리하면 C에 대한 식이 나옵니다.
C = { ( n + m )·B − m·A } / n
다른 방법 — 벡터로 한 번에. BC = (m/n)·AB 이고 방향이 A→B와 같으므로
C = B + (m / n)·(B − A) (B 방향 연장선)
만약 “직선 AB 위의 점 C”처럼 방향이 정해지지 않았다면 반대쪽도 가능하므로 부호 ± 두 경우를 모두 확인합니다.
C = B ± (m / n)·(B − A)
적용 예제 — 조건을 비로 바꿔 C 구하기
예제 1. 두 점 A(2, 2), B(5, 8)이 있다. 점 B 방향의 연장선 위의 점 C가 2AB = 3BC 를 만족할 때, C(a, b)에 대하여 a + b 의 값을 구하여라.
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① 비로 변환: 2AB = 3BC → AB : BC = 3 : 2. 즉 n = 3, m = 2.
② 위치: B 방향 연장선이므로 A — B — C 순서. B는 선분 AC를 3 : 2로 내분.
③ 역산: C = {(n+m)·B − m·A} / n = (5·B − 2·A) / 3
x좌표: (5·5 − 2·2) / 3 = (25 − 4) / 3 = 21 / 3 = 7
y좌표: (5·8 − 2·2) / 3 = (40 − 4) / 3 = 36 / 3 = 12
따라서 C(7, 12), a + b = 7 + 12 = 19.
※ 벡터법: C = B + (2/3)(B − A) = (5, 8) + (2/3)(3, 6) = (5+2, 8+4) = (7, 12). 같은 결과.
예제 2. 두 점 A(−4, 2), B(5, 8)이 있다. 직선 AB 위의 점 C가 AB = 3BC 를 만족할 때, 가능한 모든 점 C의 x좌표의 합을 구하여라.
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① 비로 변환: AB = 3BC → AB : BC = 3 : 1. 즉 BC = (1/3)AB.
② 방향 미지정: “직선 AB 위”이므로 B를 기준으로 양쪽 두 경우를 본다. B − A = (5−(−4), 8−2) = (9, 6).
경우 (ⅰ) C = B + (1/3)(B − A) = (5, 8) + (1/3)(9, 6) = (5+3, 8+2) = (8, 10).
경우 (ⅱ) C = B − (1/3)(B − A) = (5, 8) − (3, 2) = (2, 6).
두 점 C의 x좌표는 8, 2 이므로 합 = 8 + 2 = 10.
⚠ 자주 나오는 실수
- 비를 거꾸로 쓰는 실수 — m·AB = n·BC 에서 AB : BC = n : m 입니다. 계수가 교차해 들어가는데, 그대로 m : n 으로 쓰면 답이 어긋납니다.
- “직선 AB 위”인데 한 경우만 구하는 실수 — 방향이 명시되지 않으면 B 기준 양쪽 두 점이 모두 조건을 만족합니다. (반면 “B 방향 연장선”처럼 방향이 정해지면 한 점만.)