📌 핵심 — 두 삼각형의 넓이 비 = 밑변의 비 = 분점의 비
한 점 O가 고정되어 있고, 세 점 A, P, B가 한 직선 위에 있을 때, 삼각형 OAP와 삼각형 OBP는 꼭짓점 O가 공통이고 밑변(AP, BP)이 같은 직선 위에 있으므로 높이가 같습니다. 따라서
△OAP : △OBP = AP : BP
즉 넓이의 비가 곧 밑변의 비이고, 이 밑변의 비가 점 P가 선분 AB를 나누는 분점의 비가 됩니다.
→ 넓이 조건이 주어지면 ① 넓이 비를 길이(밑변) 비로 바꾸고 → ② 그 비로 내분점·외분점 공식을 적용해 점의 좌표를 구합니다.
왜 넓이 비가 밑변 비와 같을까? — 높이가 같다는 한 가지 이유
1단계 — 높이가 공통임을 확인한다.
삼각형의 넓이는 ½ × (밑변) × (높이)입니다. 점 P가 직선 AB 위를 움직여도, 꼭짓점 O에서 직선 AB까지의 거리(=높이 h)는 항상 일정합니다. 두 삼각형 OAP, OBP의 높이가 둘 다 h로 같다는 것이 핵심입니다.
2단계 — 넓이 식을 세워 나눈다.
⟹ △OAP : △OBP = (½·AP·h) : (½·BP·h) = AP : BP
½과 h가 공통으로 약분되어 밑변의 비 AP : BP만 남습니다.
3단계 — 넓이 비를 분점 비로 옮긴다.
예를 들어 △OAP = 2·△OBP 이면 △OAP : △OBP = 2 : 1, 따라서 AP : BP = 2 : 1. 이때 점 P는
- P가 선분 AB 안에 있으면 → AB를 2 : 1로 내분하는 점
- P가 직선 AB의 연장선 위에 있으면 → AB를 2 : 1로 외분하는 점
넓이 조건만으로는 안쪽인지 바깥쪽인지 정해지지 않으므로, 특별한 제한이 없으면 내분·외분 두 경우를 모두 따져야 합니다.
적용 예제 — 넓이 조건에서 점의 위치 구하기
예제 1. 두 점 A(−5, 0), B(1, 3)과 원점 O가 있다. 직선 AB 위의 점 P가 △OAP = 2·△OBP 를 만족할 때, 조건을 만족하는 두 점 P₁, P₂ 사이의 거리를 구하여라.
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① 넓이 비 → 밑변 비. △OAP : △OBP = 2 : 1 이므로 AP : BP = 2 : 1.
② 내분점 P₁ (2 : 1 내분).
P₁ = ( (2·1 + 1·(−5)) / 3, (2·3 + 1·0) / 3 ) = ( −3/3, 6/3 ) = (−1, 2)
③ 외분점 P₂ (2 : 1 외분).
P₂ = ( (2·1 − 1·(−5)) / (2−1), (2·3 − 1·0) / (2−1) ) = ( 7/1, 6/1 ) = (7, 6)
④ 두 점 사이의 거리.
P₁P₂ = √{ (7−(−1))² + (6−2)² } = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80
∴ P₁P₂ = 4√5
예제 2. 두 점 A(3, 3), B(0, 6)과 원점 O가 있다. 직선 AB 위의 점 C(a, b)에 대하여 △OAC의 넓이가 27이고 a < 0 일 때, b − a 의 값을 구하여라.
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① 기준 삼각형 △OAB의 넓이. 한 꼭짓점이 원점이므로 좌표 넓이 공식을 쓰면
△OAB = ½ |xAyB − xByA| = ½ |3·6 − 0·3| = ½·18 = 9
② 넓이 비 → 밑변 비. △OAC와 △OAB는 꼭짓점 O가 공통이고 밑변 AC, AB가 직선 AB 위에 있으므로 높이가 같다. 따라서
△OAC : △OAB = AC : AB = 27 : 9 = 3 : 1 ⟹ AC = 3·AB
③ C의 위치. C = A + t(B − A) 로 두면 AC = |t|·AB 이므로 |t| = 3, 즉 t = 3 또는 t = −3. (B − A = (−3, 3))
- t = 3 : C = (3, 3) + 3(−3, 3) = (−6, 12) → a = −6 < 0 (조건 만족)
- t = −3 : C = (3, 3) − 3(−3, 3) = (12, −6) → a = 12 (조건 불만족)
④ 답. a < 0 에서 C(−6, 12)이므로
∴ b − a = 12 − (−6) = 18
⚠ 자주 나오는 실수
- 외분(연장선) 경우를 빼먹기. “넓이가 2배”처럼 비만 주어지면 점이 두 개(내분점·외분점)일 수 있다. 안/밖 조건이 없으면 두 경우를 모두 구한다.
- 넓이 비와 분점 비의 순서 혼동. △OAP : △OBP = 2 : 1 이면 AP : BP = 2 : 1 이다. “어느 삼각형이 어느 밑변에 대응하는지”를 그림으로 확인한 뒤 비를 옮긴다.
- 높이가 같다는 전제 확인 안 하기. “넓이 비 = 밑변 비”는 두 삼각형이 꼭짓점을 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있을 때만 성립한다. 이 조건이 깨지면 쓸 수 없다.
이 개념, 직접 풀어볼까요?
넓이 비를 분점 비로 바꿔 좌표를 구하는 계산을 반복 훈련해 보세요.