내분점 공식 적용 — 두 경우(내분/외분) 나누어 좌표 구하기 | 공통수학2 1단원

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핵심 정리 · 길이 조건이 주어진 점의 좌표

직선 AB 위의 점 C가 mAB = nBC 같은 길이 조건을 만족할 때, C는 직선 위에서 두 위치에 존재할 수 있습니다. 이때 외분점 공식을 따로 쓰지 않고, 각 경우를 “어떤 점이 어떤 선분을 내분하는가”로 바꾸어 내분점 공식 하나로 좌표를 구합니다.

두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점은

( (n·x₁ + m·x₂) / (m+n) , (n·y₁ + m·y₂) / (m+n) )

“AB = 3BC”, “2AB = 3BC”처럼 길이의 등식이 조건으로 나오면, 먼저 이것을 비(比)로 바꾸는 것이 출발점입니다. 그다음 점 C가 선분 AB 안쪽에 있는지, 연장선 위에 있는지에 따라 경우를 나누면 됩니다.

왜 두 경우로 나누는가 · 4단계 원리

  1. ① 길이 등식 → 비로 변환. mAB = nBC 이면 AB : BC = n : m 입니다. (예: AB = 3BC ⇒ AB : BC = 3 : 1)
  2. ② 위치에 따라 경우 나누기. 점 C는 직선 AB 위에서 (경우 1) 선분 AB 안쪽 또는 (경우 2) B를 지나 바깥쪽(연장선 위)에 놓일 수 있습니다.
  3. ③ 각 경우를 ‘내분’으로 재해석.
    · 경우 1 (선분 위): AC + CB = AB 이므로 AC와 CB의 비를 다시 계산 → C는 선분 AB의 내분점.
    · 경우 2 (연장선 위): A, B, C 순서로 놓이면 B가 선분 AC를 내분하는 점이 됨 → A, B를 대입해 C를 역산.
  4. ④ 내분점 공식 적용. 재해석으로 얻은 비를 공식에 넣어 좌표를 구합니다. 두 경우 모두 같은 공식을 씁니다.

적용 예제

예제 1 · 연장선 위의 한 점 (한 경우)

두 점 A(2, 2), B(5, 8)에 대하여 선분 AB의 연장선 위의 점 C(a, b)가 2AB = 3BC를 만족할 때, a + b의 값을 구하여라.

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① 비로 변환: 2AB = 3BC ⇒ BC = (2/3)AB ⇒ AB : BC = 3 : 2

② 위치 해석: 연장선 위(B 바깥쪽)이므로 A, B, C 순서. 따라서 B가 선분 AC를 AB : BC = 3 : 2로 내분합니다.

③ 내분점 공식으로 역산: B = ( (2·A + 3·C) / 5 )

x좌표: 5 = (2·2 + 3a) / 5 ⇒ 25 = 4 + 3a ⇒ a = 7

y좌표: 8 = (2·2 + 3b) / 5 ⇒ 40 = 4 + 3b ⇒ b = 12

∴ C(7, 12), a + b = 19

예제 2 · 직선 위의 두 위치 (두 경우)

두 점 A(−4, 2), B(5, 8)에 대하여 직선 AB 위의 점 C가 AB = 3BC를 만족할 때, 점 C의 x좌표의 합을 구하여라.

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① 비로 변환: AB = 3BC ⇒ BC = AB / 3 ⇒ AB : BC = 3 : 1. C가 직선 위에 있으므로 두 경우로 나눕니다.

경우 1 · C가 선분 AB 안쪽에 있을 때

AC = AB − BC = AB − AB/3 = (2/3)AB ⇒ AC : CB = 2 : 1 ⇒ C는 선분 AB의 2 : 1 내분점.

x: (1·(−4) + 2·5) / 3 = 6/3 = 2

y: (1·2 + 2·8) / 3 = 18/3 = 6 ⇒ C₁(2, 6)

경우 2 · C가 B 바깥쪽 연장선 위에 있을 때

A, B, C 순서이므로 B가 선분 AC를 AB : BC = 3 : 1로 내분 ⇒ B = (1·A + 3·C) / 4

x: 5 = (−4 + 3x) / 4 ⇒ 20 = −4 + 3x ⇒ x = 8

y: 8 = (2 + 3y) / 4 ⇒ 32 = 2 + 3y ⇒ y = 10 ⇒ C₂(8, 10)

∴ x좌표의 합 = 2 + 8 = 10

⚠ 자주 나오는 실수

· 길이 등식을 비로 바꿀 때 좌우를 뒤집는 실수 — mAB = nBC 이면 AB : BC = n : m입니다. (계수가 반대쪽 비로 갑니다.)

· “직선 위” = 두 경우인데 한 경우만 구하기 — “선분 위”가 아니라 “직선 위/연장선 위”라면 경우 2까지 반드시 확인하세요.

· 경우 2에서 C를 직접 내분하려는 실수 — C가 아니라 B(또는 A)가 내분점이 되도록 식을 세워야 합니다.

함께 보면 좋은 개념

이 개념, 직접 풀어볼까요?

두 경우로 나누어 좌표 구하는 손풀이를 연산연습으로 굳혀보세요.

▶ mAB=nBC 좌표 구하기 훈련 (P-등식내분01) ▶ 두 경우(내분·연장) 나누어 풀기 훈련 (P-등식내분02)

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