📌 핵심 — ‘직선 AB 위’면 점 C는 항상 두 개
점 C가 선분 AB의 연장선(=직선 AB) 위에 있고 방향이 정해지지 않았다면, 같은 거리 조건을 만족하는 점이 점 B를 기준으로 양쪽에 하나씩 생깁니다.
pAB = qBC ⟹ BC = (p / q) · AB
이 길이를 점 B에서 A→B 방향(＋)과 그 반대 방향(−) 양쪽으로 재면, 두 점이 한 번에 나옵니다.
C = B ± (p / q)(B − A)
⚡ 두 점의 정체
＋ 쪽 : 점 B를 지나 A의 반대쪽 → 외분 쪽(연장선 위) 점
− 쪽 : 점 A를 향하는 쪽 → BC < AB면 A와 B 사이의 내분점, BC > AB면 A를 지난 외분 쪽 점
※ 외분점 공식을 따로 외우지 않아도, B에서 ±로 양방향을 재면 두 경우가 한 번에 처리됩니다.
조건 → BC = (p/q)AB → C = B ± (p/q)(B−A)의 흐름을 손에 익혀 보세요. B − A를 먼저 구해 두면 ± 두 경우를 한 줄에 정리할 수 있습니다. “직선 AB 위”라는 말이 보이면 답은 두 개임을 잊지 마세요.
기본형 — 두 점 C의 좌표 모두 구하기
기본 1. 두 점 A(1, 2), B(5, 8)에 대하여 직선 AB 위의 점 C가 AB = 2BC를 만족한다. 점 C의 좌표를 모두 구하시오.
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B − A = (5 − 1, 8 − 2) = (4, 6)
AB = 2BC → BC = ½ AB → C = B ± ½(B − A) = (5, 8) ± ½(4, 6) = (5, 8) ± (2, 3)
＋ 쪽 : C₁ = (5 + 2, 8 + 3) = (7, 11) (B 너머, 외분 쪽)
− 쪽 : C₂ = (5 − 2, 8 − 3) = (3, 5) (A와 B 사이 → 이 경우 AB의 중점)
∴ C(7, 11) 또는 C(3, 5)
기본 2. 두 점 A(2, 1), B(8, 4)에 대하여 직선 AB 위의 점 C가 AB = 3BC를 만족한다. 점 C의 좌표를 모두 구하시오.
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B − A = (6, 3)
AB = 3BC → BC = ⅓ AB → C = (8, 4) ± ⅓(6, 3) = (8, 4) ± (2, 1)
＋ 쪽 : C₁ = (10, 5) (외분 쪽)
− 쪽 : C₂ = (6, 3) (BC < AB이므로 A·B 사이의 내분점)
∴ C(10, 5) 또는 C(6, 3)
기본 3. 두 점 A(0, 1), B(6, 7)에 대하여 직선 AB 위의 점 C가 2AB = 3BC를 만족한다. 점 C의 좌표를 모두 구하시오.
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B − A = (6, 6)
2AB = 3BC → BC = ⅔ AB → C = (6, 7) ± ⅔(6, 6) = (6, 7) ± (4, 4)
＋ 쪽 : C₁ = (10, 11) (외분 쪽)
− 쪽 : C₂ = (2, 3) (내분점)
∴ C(10, 11) 또는 C(2, 3)
응용형 — 두 점으로 구하는 합·거리
응용 1. 두 점 A(−2, 1), B(7, 7)에 대하여 직선 AB 위의 점 C가 AB = 3BC를 만족한다. 가능한 두 점 C의 x좌표의 합을 구하시오.
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B − A = (9, 6)
AB = 3BC → BC = ⅓ AB → C = (7, 7) ± ⅓(9, 6) = (7, 7) ± (3, 2)
C₁ = (10, 9), C₂ = (4, 5)
x좌표의 합 = 10 + 4 = 14
💡 빠른 길 — 두 점 C는 B에서 ±(3, 2)만큼 떨어진 대칭점이므로 x좌표의 합 = 2 × (B의 x좌표) = 2 × 7 = 14. 좌표를 직접 구하지 않아도 됩니다.
∴ 14
응용 2. 두 점 A(1, 1), B(9, 5)에 대하여 직선 AB 위의 점 C가 3AB = 4BC를 만족한다. 가능한 두 점 C 사이의 거리를 구하시오.
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B − A = (8, 4), AB = √(8² + 4²) = √80 = 4√5
3AB = 4BC → BC = ¾ AB → C = (9, 5) ± ¾(8, 4) = (9, 5) ± (6, 3)
C₁ = (15, 8) (외분 쪽), C₂ = (3, 2) (내분점)
C₁C₂ = √{(15 − 3)² + (8 − 2)²} = √(144 + 36) = √180 = 6√5
💡 빠른 길 — 두 점은 B를 중심으로 양쪽 거리 BC씩 떨어진 점이므로 C₁C₂ = 2 × BC = 2 × ¾ AB = 2 × 3√5 = 6√5.
∴ 6√5
⚠️ 자주 나오는 실수
- 답을 한 개만 쓰기 — “직선 AB 위”이면 방향이 둘이라 점은 두 개. “선분 AB의 연장선 위(B에 대해 A의 반대쪽)”처럼 방향이 명시될 때만 한 개입니다.
- 비율을 거꾸로 쓰기 — pAB = qBC에서 BC = (p/q)AB 입니다. (q/p)로 쓰지 않도록 주의.
- B − A 와 A − B 혼동 — 기준점은 B이고, A→B 방향 벡터 (B − A)를 더하고 빼야 합니다. 부호가 뒤집히면 두 점이 서로 바뀝니다.
- “− 쪽이 무조건 내분점”이라 단정 — BC > AB이면 A를 지나쳐 버려 − 쪽도 외분 쪽 점이 됩니다. 좌표를 구해 위치를 확인하세요.
📚 이 계산, 원리가 헷갈린다면 — 관련 개념정리