🎯 단원 분석 — 평면좌표 종합형, 수능 고득점의 분수령
평면좌표는 공통수학2의 출발점이자, 이후 도형의 방정식·원의 방정식·도형의 이동으로 이어지는 모든 좌표기하의 토대다. 수능과 모의고사에서는 중점·내분점·외분점·무게중심 공식 한두 개만 묻는 단편형보다, 여러 공식을 직렬로 엮은 종합형이 점점 더 많이 출제된다.
특히 이 유형(서술형 종합)은 ① 중점공식으로 한 꼭짓점 역산 → ② 무게중심공식으로 나머지 꼭짓점 역산 → ③ 내분점공식으로 마지막 답 도출이라는 3단 사슬형 구조를 갖는다. 한 단계라도 부호·계산이 어긋나면 그 뒤가 전부 무너지므로, 각 공식의 정의식을 정방향이 아니라 역방향(미지수 풀기)으로 자유롭게 다루는 훈련이 핵심이다. 도형의 방정식 단원의 ‘점과 직선’과 결합된 변형형으로도 자주 등장한다.
💡 출제의도 & 풀이 핵심맥락
출제의도 : 중점·무게중심·내분점 세 공식을 역산적으로 연쇄 적용할 수 있는지를 묻는 서술형 종합 유형. 단순 대입이 아닌, 미지수 꼭짓점을 알려진 점의 정보로부터 거꾸로 끌어내는 사고가 핵심이다.
풀이 핵심맥락 — 3단 사슬
- [1단계] 중점공식 → B 좌표
A와 B의 중점이 (4, 3)이라는 조건. 중점공식의 역방향 대입으로 B를 풀어낸다. → B(2, −2) - [2단계] 무게중심공식 → C 좌표
A, B, C의 무게중심이 (6, 4)라는 조건. 1단계에서 구한 B를 대입한 뒤, 같은 방식으로 C를 역산. → C(10, 6) - [3단계] 내분점공식 → 최종 답
구해진 B(2, −2), C(10, 6)에 대해 BC를 3 : 1로 내분하는 점을 정공식으로 계산. → (8, 4)이므로 p + q = 12
채점 포인트 : 각 단계마다 (i) 공식 정확히 진술 (ii) 대입 식 명시 (iii) 좌표 결론 분명하게 표기. 부분 점수 배점이 3-3-4점 구조이므로 중간 결과 B, C를 빠뜨리면 즉시 감점이다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 키워드 (외부 연계 개념)
이 문제는 평면좌표 단원 내부의 세 공식을 직접 사용하지만, 안정적으로 풀려면 다음 영역의 선행/연계 개념이 받쳐줘야 한다.
- ▸ 무게중심의 기하학적 성질 — 세 중선의 교점, 각 중선을 2 : 1로 내분한다는 사실. 좌표공식의 정당화 근거.
- ▸ 내심·외심·무게중심 구별 — 좌표공식이 깔끔하게 떨어지는 것은 무게중심뿐. 내심/외심과 혼동하면 출발부터 어긋난다.
- ▸ 일차방정식 역산 — (6+a)/2 = 4 형태의 식을 미지수에 대해 푸는 능력. 중1~중2 단계지만 부호 처리에서 가장 자주 실수가 난다.
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