📌 수능 고득점을 위한 단원 분석 — 평면좌표 × 각의 이등분선
평면좌표 단원의 내분점 개념은 단독 출제보다 도형의 성질·이차방정식·도형의 방정식과 결합되어 자주 등장합니다. 특히 본 유형 「각의 이등분선의 성질」은 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 대변 BC를 AB : AC의 비로 내분한다는 사실이 내분점 공식과 직결되어, 수능 4점 문항에서 외분·삼각형의 넓이·근과 계수의 관계·삼각함수와 묶여 출제됩니다. 본 문제처럼 두 변의 길이를 이차방정식의 두 근으로 처리하는 패턴은 평면좌표와 이차방정식 단원을 잇는 대표적인 융합 출제 코드이므로 풀이 절차를 정확히 체화해야 합니다.
🎯 출제의도 & 문제풀이 핵심 맥락
- 핵심 출제의도 : 삼각형의 각의 이등분선의 성질( AB : AC = BD : DC )과 선분의 내분점 개념을 결합하여 미지수 a, b를 구하고, 이를 이차방정식의 근으로 보아 근과 계수의 관계로 계수 p, q를 결정한다.
- 풀이 흐름 : ① ∠A 이등분선 → 비례식 a : b = 8 : 4 = 2 : 1 세우기 → ② BC=9를 2:1로 내분하여 a=6, b=3 → ③ 두 근 6, 3을 갖는 이차항 계수 1짜리 이차방정식 → x² − 9x + 18 = 0 → ④ p = −9, q = 18 → p + q = 9.
- 실수 포인트 : AB : AC의 비를 BD : DC 순서로 정확히 대응시켜야 하며, 내분 비율을 통째로 BC에 곱할 때 분자에 대응변이 오도록 기억하는 것이 관건.
🔑 문제풀이에 필요한 핵심 키워드
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- 삼각형의 각의 이등분선의 성질 (AB : AC = BD : DC)
- 선분의 내분점 — 두 점을 m : n으로 내분하는 점의 좌표
- 두 수 α, β를 근으로 하는 이차방정식 만들기 : (x − α)(x − β) = 0
- 이차방정식 x² + px + q = 0의 근과 계수의 관계 : 두 근의 합 = −p, 두 근의 곱 = q
▶️ 해설 동영상
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📘 해설 이미지 (STEP별 풀이)
STEP A. 각의 이등분선의 성질 AB : AC = BD : DC → a : b = 8 : 4 = 2 : 1 → D가 BC=9를 2:1로 내분 → a = 6, b = 3
STEP B. 6, 3을 두 근으로 하는 이차항 계수 1의 이차방정식 → (x − 6)(x − 3) = 0 → x² − 9x + 18 = 0 → p = −9, q = 18
∴ p + q = 9 [정답 ④]
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