📌 수능 고득점 포인트
평면좌표 단원은 수능에서 단독 계산 문제보다 도형방정식·원·이차곡선과 결합된 형태로 자주 출제됩니다. 이 유형(mAB = nBC 조건 → 두 경우 나누기)은 벡터 방향 해석 → 내분/외분 경우 분리 → 내분점 좌표 계산 → 두 점 거리로 이어지는 4단계 흐름을 연습하는 핵심 유형입니다. 이 흐름은 좌표기하 전반에서 반복되므로 자동화 수준까지 익혀 두어야 합니다.
🎯 출제의도 & 핵심 맥락
출제의도: 벡터 등식 3AB = 2BC를 방향과 크기 모두 해석해
점 C의 위치가 두 곳이 됨을 파악하고, 각각에 내분점 공식을 적용한 뒤 두 점 사이의 거리를 구하는 능력을 평가합니다.
- 벡터 방향 해석 —
3AB = 2BC에서 AB와 BC가 같은 방향이므로 AB : BC = 2 : 3. C는 AB 직선 위에서 B를 기준으로 B 너머 또는 A 너머에 위치할 수 있습니다. - 두 경우 분리
- 경우 (ⅰ): B가 선분 AC를 2 : 3으로 내분 → A(1,2), C(a,b) 사이에 B(3,4)
- 경우 (ⅱ): A가 선분 CB를 1 : 2로 내분 → C(a,b), B(3,4) 사이에 A(1,2)
- 내분점 공식 적용 — 각 경우에서 내분점 좌표를 이미 알려진 점과 일치시켜 a, b를 구합니다.
- 두 점 거리 계산 — C₁(6, 7), C₂(0, 1)에 거리 공식 적용 → 6√2
⚠️ 함정 주의: 등식
3AB = 2BC를 단순히 “B가 내분점”으로만 읽으면 경우 (ⅱ)를 놓칩니다.
C가 B 너머에 있을 때와 A 너머에 있을 때 두 경우를 모두 체크해야 합니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념
- mAB = nBC 조건 해석 — AB : BC = n : m으로 내분점 찾기 — 등식 방향 해석과 두 경우 도출 원리
- 내분점 공식 적용 — 두 경우(내분/외분) 나누어 좌표 구하기 — 내분점 공식 실전 적용
- 두 점 사이의 거리 공식 (단원 외 연계 없음, 같은 단원 기본 공식) — √{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²}
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✏️ 관련 연산문제 (반복 훈련)