📌 이 유형, 수능 고득점에서 왜 중요한가
「평면좌표」의 내분점 공식은 단순 암기 공식이 아니라, 이후 배우는 삼각형의 무게중심 · 직선의 방정식 · 원의 방정식 · 도형의 자취로 곧장 이어지는 좌표 계산의 뼈대입니다. 한 점의 좌표를 ‘비(比)’로 정확히 잡아내는 감각이 잡혀 있어야 도형 단원 전체의 계산 정확도와 속도가 살아납니다.
특히 이 문제는 공식을 앞으로(P 구하기) 한 번, 거꾸로(Q 역추적) 한 번 모두 써야 하는 2단 결합형입니다. “내분한 결과 점이 이미 주어져 있고, 원래 점을 되찾는” 역방향 사고는 수능·모의고사에서 빈칸 채우기·미지수 좌표 설정 문항으로 자주 변형되며, 공식을 ‘방향 상관없이’ 다룰 수 있는지를 가르는 핵심 분기점입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
이 문제의 의도는 내분점 공식을 ‘정방향 + 역방향’으로 모두 운용할 수 있는지를 묻는 데 있습니다. 풀이의 흐름은 세 단계로 깔끔하게 갈립니다.
- 정방향 적용 — 두 점 A, B에 대해 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P를 공식에 곧장 대입해 구합니다.
- 역방향(역추적) 적용 — 핵심 포인트입니다. 선분 PQ를 3 : 1로 내분한 결과가 이미 알고 있는 점 B와 같다는 조건을 이용합니다. 구하려는 점 Q의 좌표를 미지수 (a, b)로 두고, ‘P와 Q의 3 : 1 내분점 = B’라는 식을 좌표별로 따로 연립해 a, b를 되찾습니다.
- 마무리 — 되찾은 Q와 앞서 구한 P로 선분 PQ의 중점을 구하면 그것이 (α, β)이고, 마지막에 α+β를 답합니다.
⚠️ 실수 포인트 — “선분 PQ를 3 : 1로 내분한 점이 B”라는 한 문장에서 무엇이 결과이고 무엇이 미지수인지 헷갈리면 식의 분자·분모가 뒤집힙니다. 이미 아는 점은 결과(B), 모르는 점은 Q로 고정하고, 3 : 1의 비의 방향(앞 비는 뒤쪽 점에 가중)을 공식 분자에 정확히 대응시키는 것이 관건입니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭 → 개념정리 이동)
이 문항은 사용하는 개념이 모두 본 단원 안에 있습니다. 군더더기 없이 딱 필요한 3가지만 짚어 둡니다.
- 🔗 선분의 내분점 공식 (m : n) — 점 P를 구하는 ‘정방향’ 적용의 기본 공식
- 🔗 내분점을 역으로 활용하기 (미지수 좌표) — 이 문제의 핵심 고리. 결과 점이 주어졌을 때 원래 점 Q를 연립으로 되찾는 방법
- 🔗 선분의 중점 공식 — 마지막 단계에서 PQ의 중점 (α, β)를 구하는 데 사용
※ 단원 외 선수 지식은 일차연립방정식 풀이(미지수 a, b 정리) 정도로, 별도 개념 학습이 필요하지 않습니다.
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