📌 이 유형, 수능 고득점에서 왜 중요한가
「평면좌표」의 내분점 공식은 단순 계산이 아니라, 이후 배우는 직선의 방정식 · 원의 방정식 · 도형의 닮음비 · 무게중심으로 그대로 이어지는 좌표 다루기의 기본 골격입니다. 좌표만 정확히 잡으면 복잡한 도형 문제도 사칙연산 수준으로 내려옵니다.
특히 이 문제가 속한 좌표평면 위의 선분의 내분점 유형은, 수능·모의고사에서 내분점 좌표를 “거꾸로” 주고 미지수를 되묻는 역산형으로 자주 출제됩니다. 여기에 비(比) 안에 미지수가 숨어 있어, 앞 단계에서 구한 값을 뒤 단계의 비에 다시 대입해야 하는 연속(연결) 조건이 결합되면 체감 난도가 한 단계 올라갑니다. “구한 값을 다음 식에 흘려보내는” 흐름 관리가 이 유형의 진짜 평가 포인트입니다.
출제의도와 풀이 핵심 맥락
이 문제는 내분점 좌표가 먼저 주어지고, 그것으로부터 미지수를 거꾸로 찾아내는 역산 구조에 두 단계가 사슬처럼 엮인 형태입니다. 풀이는 자연스럽게 2단계로 나뉩니다.
- 1단계 — 첫 내분점으로 미지수 확정: 선분 AB를 1:b로 내분한 점의 좌표를 공식에 그대로 써넣으면 x좌표 식 · y좌표 식 두 개가 나오고, 이것이 주어진 좌표와 같다는 연립방정식을 풀어 a와 b가 한꺼번에 결정됩니다.
- 2단계 — 확정한 b를 두 번째 비에 ‘재투입’: 여기가 이 문제의 결정적 길목입니다. 두 번째 비 3−b : b에는 1단계에서 구한 b가 들어 있으므로, 그 값을 대입해야 비로소 구체적인 정수 비(예: 1:2)가 확정됩니다. 이 비를 가지고 선분 AP의 내분점 좌표 조건을 다시 연립방정식으로 풀면 P(α, β)가 나옵니다.
⚠️ 가장 흔한 실수 — 비 안에 미지수(b)가 있다는 걸 놓치고 3−b : b를 그대로 둔 채 식을 세우려다 막히는 경우입니다. “비에 미지수가 보이면, 그 값은 앞 단계에서 이미 구했는지부터 확인하라”가 핵심 습관입니다. 또한 내분점 공식에서 어느 쪽 점에 어느 가중치가 곱해지는지 방향을 고정해야 부호·자리 실수를 막을 수 있습니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념
- 선분의 내분점 공식 — m:n 내분점 좌표 유도부터 적용까지 : 이 문제 전 과정의 토대가 되는 기본 공식
- 내분점·중점을 역으로 활용하기 — 미지수 포함 좌표에서 값 구하기 ★ 이 문제의 정확한 핵심 : 주어진 내분점 좌표로부터 a, b, α, β를 거꾸로 찾는 역산 원리
- 연립일차방정식 풀이 (선수개념 · 다항식/방정식): x·y 두 조건을 동시에 만족시켜 미지수를 확정하는 도구
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