📌 이 유형, 수능 고득점에서 왜 중요한가
선분의 길이의 제곱의 합(AP²+BP²)의 최솟값은 「평면좌표」의 거리 공식을 최댓값·최솟값 문제로 끌어올리는 핵심 길목입니다. 단순히 거리를 구하는 데서 멈추지 않고, 움직이는 점 P의 좌표를 미지수 (a, b)로 두고 식 전체를 완전제곱식으로 정리한 뒤 “(실수)²≥0”을 이용해 최솟값을 잡아내는 흐름은 이후 배우는 원의 방정식 · 점과 직선 사이의 거리 · 이차함수의 최대·최소 · 도형의 자취와 그대로 연결됩니다.
특히 이 문제의 진짜 핵심은 계산 너머에 있습니다. AP²+BP²을 최소로 만드는 점 P는 정확히 두 점 A·B의 중점이라는 사실인데요, 이 “중점” 통찰을 알아 두면 좌표 계산을 끝까지 하지 않고도 답의 구조를 먼저 읽어낼 수 있습니다. NORMAL 난이도지만, 이 한 가지 관점이 고난도 통합형에서 시간을 가르는 무기가 됩니다.
🎯 출제의도와 풀이 핵심 맥락
출제의도 — 움직이는 점 P의 좌표를 P(a, b)로 놓고 거리 공식으로 AP²과 BP²을 각각 구한 뒤, 그 합을 a·b에 대한 이변수 식으로 정리해 완전제곱식으로 변형하는 능력을 평가합니다. 계산 자체는 평이하지만, 여러 항이 섞인 식을 “a에 대한 제곱항 + b에 대한 제곱항 + 상수”로 깔끔하게 묶어내는 정리력이 핵심입니다.
풀이 맥락 — AP²+BP²을 전개·정리하면 2(a−1)² + 2(b−3)² + 16 꼴이 됩니다. 여기서 (실수)² ≥ 0이므로, 두 제곱항이 모두 0이 될 때, 즉 a = 1, b = 3일 때 전체 값이 최소(=16)가 됩니다.
이렇게 구한 P(1, 3)은 곧 두 점 A(3, 1), B(−1, 5)의 중점입니다 (중점 = ((3+(−1))/2, (1+5)/2) = (1, 3)). 마지막으로 묻는 것은 P와 원점 사이의 거리이므로, 원점 O(0, 0)에서 P(1, 3)까지 다시 거리 공식을 적용하면 됩니다. “식 정리 → 완전제곱 → 최솟값 좌표 → 원점까지 거리”의 4단계 흐름을 끝까지 밟는 것이 관건입니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념
이 문제는 거리 공식 자체보다, 그 식을 최솟값으로 끌고 가는 대수적 도구가 핵심입니다. 아래 개념을 클릭해 먼저 다지고 오면 풀이가 한결 매끄럽습니다.
- 두 점 사이의 거리 공식 — AP², BP²을 좌표로 옮기는 출발점
- 완전제곱식 변환과 (실수)²≥0을 이용한 최솟값 — 2(a−1)²+2(b−3)²+16에서 제곱항=0으로 최소 잡기
- AP²+BP²이 최소가 되는 점 P = A·B의 중점 — 계산 없이 답의 구조를 읽는 핵심 통찰
🎬 해설 동영상
📝 해설 이미지
📚 개념정리 (먼저 다지기)
- [개념정리] 두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지
- [개념정리] AP²+BP² 최솟값 구하기 — 완전제곱식 변환과 이차함수 최솟값
- [개념정리] AP²+BP²이 최소가 되는 점 P — A·B 중점의 의미