유형 06. 두 점 사이의 거리의 활용 — 선분의 길이의 제곱의 합의 최솟값
이 단원, 수능 고득점에서 왜 중요한가
‘두 점 사이의 거리’는 평면좌표 단원의 출발점이자, 도형의 방정식 전체를 떠받치는 기본 도구입니다. 수능·내신 고득점 구간에서 이 단원은 단독으로 출제되기보다, 이차함수의 최대·최소, 원의 방정식, 도형의 넓이·둘레 같은 개념과 결합되어 한 단계 높은 사고를 요구하는 형태로 나옵니다.
특히 이 문제처럼 ‘거리의 제곱의 합이 최소가 되는 점’을 묻는 유형은 ① 거리 공식으로 식을 세우고 → ② 그 식을 이차식의 완전제곱 꼴로 변형하여 → ③ 최솟값을 판정하는, ‘식 세우기 + 이차식 처리’의 복합 흐름을 평가합니다. 여기에 직선 위의 점을 한 문자로 설정하는 좌표 설정 능력까지 함께 측정되므로, 한 문제 안에서 여러 단원의 기본기가 동시에 점검되는 ‘연결형’ 문항입니다.
1. 출제 의도 & 풀이 핵심 맥락
- 직선 위의 점 조건을 한 문자로 표현해 자유도를 1로 줄인다. (P의 좌표를 한 변수로 설정)
- 거리 공식으로 AP², BP²을 각각 변수에 대한 이차식으로 나타낸다.
- 두 이차식의 합을 완전제곱식 꼴로 정리해, 최솟값을 만드는 변수값을 찾는다.
- 그 값으로 점 P의 좌표를 확정한 뒤, 최종적으로 요구하는 값을 계산한다.
⚠️ 핵심 함정: 이 문제는 “최솟값을 가질 때의 점”을 먼저 찾고, 그 점으로 다른 값(a²+b²)을 계산하는 2단 구조입니다. 제곱의 합의 최솟값 그 자체와, 문제가 실제로 묻는 요구값을 혼동하지 않는 것이 정답의 갈림길입니다.
2. 풀이에 필요한 핵심 키워드 (단원 밖 선수개념)
이 문제의 진짜 장벽은 거리 공식이 아니라 그 다음 단계에 있습니다. 아래 개념이 약하면 식은 세워도 최솟값에서 막힙니다.
4a²+16a+106 을 4(a+2)²+90 꼴로 바꿔 최솟값을 읽어내는 과정.
공통수학1 ‘이차함수의 최대·최소’와 직접 연결되는, 이 유형의 결정적 선수개념입니다.
3. 해설 동영상
4. 해설 이미지
5. 관련 개념정리 포스트
- 📘 두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지
- 📘 AP²+BP² 최솟값 구하기 — 완전제곱식 변환과 이차함수 최솟값
- 📘 AP²+BP²이 최소가 되는 점 P — A·B 중점의 의미
- 📘 직선 위의 점 좌표 설정법 — x축·y축·y=mx+n 위의 점