📌 평면좌표 — ‘선분의 길이의 합의 최솟값’ 유형 분석
평면좌표는 도형의 방정식·함수 그래프·기하 전 영역의 기초 좌표 감각을 잡아주는 단원입니다. 수능 고득점에서 변별력을 가르는 지점은 단순 계산이 아니라 “복잡한 대수식을 좌표·거리로 다시 읽어내는 재해석 능력”인데, 이 능력의 출발점이 바로 이 단원입니다.
그중에서도 ‘두 무리식의 합의 최솟값’ 유형은
- √( ⋯ ) 꼴을 두 점 사이의 거리로 역해석하고,
- 삼각부등식(AB + AC ≥ BC) 또는 대칭이동으로 최솟값을 잡는
두 단계 발상이 결합된 고난도 패턴입니다. 수능·모의고사에서는 이 발상이 도형의 방정식, 함수의 최대·최소, 자취 문제와 엮여 4점 고난도로 자주 등장하므로, 유형 자체의 ‘번역 회로’를 손에 익혀두는 것이 핵심입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
이 문항(난이도 TOUGH)의 출제의도는 명확합니다. “√(제곱+제곱) 형태를 좌표평면 위 두 점 사이의 거리로 바꿔 읽을 수 있는가?” 를 빈칸 채우기 형식으로 점검하는 문제입니다.
풀이 맥락 한눈에 보기
- √(x²+16) = √( (x−0)² + (0−4)² ) → 점 A(x, 0) 와 점 B(0, 4) 사이의 거리
- √( (x−3)²+2² ) = √( (x−3)² + (0−(−2))² ) → 점 A(x, 0) 와 점 C(3, −2) 사이의 거리
- 구하려는 식 = AB + AC. A는 x축 위를 움직이는 점이므로, 삼각부등식에 의해 AB + AC ≥ BC
- 등호는 점 A가 선분 BC 위에 놓일 때 성립 → 최솟값은 두 점 B, C 사이의 거리 BC
따라서 좌표를 대응시키면 a = 4, b = 3, c = −2 (조건 a>0, b>0, c<0 와 일치), 최솟값 d = BC = √( 3² + (−2−4)² ) = √45 = 3√5 가 되어,
a + b + c + d = 4 + 3 + (−2) + 3√5 = 5 + 3√5
핵심은 ‘식을 계산하려 들지 말고 그림(거리)으로 번역하라’ 입니다. 무리식을 그대로 미분·정리하려 하면 길을 잃지만, 거리로 바꾸는 순간 한 줄로 끝납니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 키워드
이 문제를 ‘번역’하려면 아래 두 가지가 반드시 손에 잡혀 있어야 합니다. (클릭하면 개념 정리로 이동)
- 📐 두 점 사이의 거리 공식 — √( (x₁−x₂)² + (y₁−y₂)² ) 꼴을 거꾸로 ‘좌표’로 되돌려 읽는 역해석의 토대
- 📏 삼각부등식 · AP+BP 최솟값 원리 — AB + AC ≥ BC, 등호는 한 점이 두 점을 잇는 선분 위에 있을 때 성립
🎬 해설 동영상
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