📌 이 유형, 수능·내신에서 왜 중요한가
평면좌표 단원의 핵심 도구인 두 점 사이의 거리 공식은, 도형의 성질을 좌표 위로 옮겨 대수적으로 처리하게 해 주는 연결고리입니다. 고득점 문항은 단순 거리 계산에 머물지 않고, 외심·내심·무게중심처럼 도형의 특수점을 좌표로 구하는 융합형으로 출제됩니다.
특히 외심은 “세 꼭짓점에서 이르는 거리가 모두 같다”는 정의 자체가 곧 PA = PB = PC 라는 식으로 직결되어, 평면좌표 + 중학 도형(외심) + 연립방정식이 한 문제 안에서 결합됩니다. 여기에 “직각삼각형이면 외심 = 빗변의 중점”이라는 성질로 계산을 단축하는 안목까지 함께 평가되므로, 정의를 식으로 옮기는 힘과 도형을 보는 눈을 동시에 길러야 하는 대표 유형입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
- 출제의도 — 외심의 정의(세 꼭짓점에서 등거리)를 거리 공식으로 정확히 식화할 수 있는지 확인합니다.
- 표준 풀이 — 외심을 P(x, y)로 두고 PA = PB, PA = PC 두 식을 세웁니다. 양변을 제곱하면 x², y² 항이 소거되어 x, y에 대한 일차 연립방정식으로 정리되고, 이를 풀어 외심의 좌표를 얻습니다.
- 빠른 풀이(다른 풀이) — 세 변의 길이를 구해 피타고라스 정리로 직각삼각형 여부를 판별한 뒤, 직각삼각형이라면 빗변의 중점이 곧 외심임을 이용해 중점 공식 한 번으로 좌표를 구합니다.
- 실수 포인트 — 제곱 전개 시 부호, 그리고 “등거리 ⇒ 거리의 제곱이 같다”로 바꿔 √를 없애는 과정에서의 정리.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭 시 이동)
이 문제는 평면좌표 외에 도형의 외심 성질을 알아야 풀립니다. 아래 개념을 먼저 확인하세요.
- 삼각형의 외심 — 정의·성질 (OA = OB = OC) : 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 성질이 PA = PB = PC 식의 출발점입니다.
- 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점 : 직각삼각형 판별 시 계산을 크게 단축하는 핵심 성질입니다.
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