📌 이 유형, 수능 고득점에서 왜 중요한가
삼각형의 모양 결정은 「평면좌표」 단원의 거리 공식을 도형의 성질을 식으로 옮기는 도구로 끌어올리는 핵심 유형입니다. 세 점의 좌표가 주어졌을 때 세 변의 길이를 모두 거리 공식으로 구한 뒤, 그 길이들 사이의 대소·등호 관계로 삼각형이 어떤 모양인지를 판별하는 흐름은 이후 배우는 원의 방정식(외접원·외심) · 점과 직선 사이의 거리 · 도형의 넓이 문제와 그대로 연결됩니다.
특히 이 문제처럼 “직각”과 “이등변”이라는 두 조건을 동시에 만족시키는 미지수를 찾는 형태는 각각의 조건을 이차방정식으로 세운 뒤 두 해집합의 공통값(교집합)을 골라야 하는 TOUGH 유형입니다. 수능·모의고사 4점 통합형에서 “조건이 둘 이상일 때 모두 만족하는 값만 답”이라는 사고 습관을 시험하는 길목이므로, 이 문제로 그 분기 처리를 정확히 익혀 두면 고난도 도형 문항에서 실수를 줄일 수 있습니다.
🎯 출제의도와 풀이 핵심 맥락
출제의도 — 세 점의 좌표로 세 변의 길이를 거리 공식으로 표현하고, 직각이등변삼각형이라는 단어를 두 개의 식 조건으로 분해할 수 있는지를 평가합니다. ‘직각이등변’은 한 덩어리가 아니라 ① 직각(피타고라스) + ② 이등변(두 변의 길이가 같음)이라는 서로 다른 두 조건이 결합된 말이라는 점을 간파하는 것이 출발점입니다.
풀이 핵심 맥락 — 두 조건의 교집합
① 직각 조건 : ∠B=90°이므로 B의 맞은편 변 CA가 빗변입니다. 피타고라스 정리에 의해 CA² = AB² + BC²을 세워 a에 대한 이차방정식을 만듭니다.
② 이등변 조건 : 직각을 낀 두 변이 같아야 하므로 AB = BC, 즉 AB² = BC²으로 또 하나의 이차방정식을 세웁니다.
결정적 분기점 — 두 방정식을 각각 풀면 여러 개의 a값이 나오지만, 직각이등변삼각형이 되려면 ①과 ②를 동시에 만족해야 하므로 두 해집합에 공통으로 들어 있는 값만이 답이 됩니다. ‘또는’이 아니라 ‘그리고’로 거른다는 점이 이 문제의 함정입니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 키워드
아래 개념이 막히면 링크에서 먼저 짚고 오면 풀이가 빨라집니다.
- 두 점 사이의 거리 공식 — 세 변 AB, BC, CA의 길이를 a에 대한 식으로 정확히 세우는 출발 도구
- 직각삼각형 조건 — 피타고라스 정리 — ∠B=90°를 (빗변)² = (다른 두 변)²의 합으로 옮기는 핵심. 직각의 맞은편 변이 빗변임을 잊지 않기
- 삼각형 세 변의 길이로 모양 결정하기 — 이등변(두 변이 같음)·직각·둔각 등 모양 판별 조건을 식으로 정리
- 이차방정식의 인수분해 — 두 조건에서 나온 이차식을 풀어 a의 후보값을 구하고, 교집합으로 최종 답을 거르는 마무리 단계
🎬 해설 동영상
▲ 직각 조건(피타고라스)과 이등변 조건을 각각 식으로 세운 뒤 공통 해를 찾는 과정을 영상으로 확인하세요.
✍️ 단계별 풀이 (해설 이미지)
📚 함께 보면 좋은 개념정리
- 두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지
- 삼각형 세 변의 길이로 모양 결정하기 — 정삼각형·이등변·직각·둔각 판별
- 직각삼각형 조건 — 피타고라스 정리로 직각의 위치 파악
🧮 연산 연습 (반복 훈련)
- [연산연습] 직각이등변삼각형 조건으로 미지수 구하기 반복 훈련
- [연산연습] 세 변의 길이 비교로 삼각형 모양 판별 반복 훈련
- [연산연습] 이등변삼각형 조건 설정 → 경우 분류 → 방정식 풀기 반복 훈련