“
선분 위의 점 P에 대하여 특정 각이 90도가 될 조건을 이용하는 고난도 문제입니다. 원주각의 성질을 활용합니다.
접근법:
1. 각 APB=90°를 만족하는 점 P는, **선분 AB를 지름으로 하는 원** 위에 있습니다.
2. 먼저 선분 AB를 지름으로 하는 원의 방정식을 구합니다.
3. 점 P는 이 원 위에도 있으면서, 동시에 선분 CD 위에도 있어야 합니다. 즉, **원과 선분 CD의 교점**이 P가 될 수 있습니다.
4. 따라서 ‘원과 직선 CD가 만날 조건’ (원의 중심과 직선 CD 사이의 거리가 반지름보다 작거나 같다)을 이용해 t의 범위를 구합니다.
주의할 점:
‘각이 90도’라는 조건을 ‘지름에 대한 원주각’으로 해석하여 원의 방정식을 떠올리는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
각이 90도가 되는 점의 자취와 교점
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원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원과 평행할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=5 위의 점 (-2,1)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 구한 접선과 평행하므로, 기울기가 같습니다. 원 x²+y²=9에 접하면서 이 기울기를 갖는 접선의 방정식을 구합니다.
3. 기울기가 주어진 원의 접선 공식을 이용하면 두 개의 평행한 접선이 나옵니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 정확히 따라야 합니다. 첫 번째 원에서는 ‘접점’을, 두 번째 원에서는 ‘기울기’를 핵심 정보로 사용합니다.
”
원 위의 점 접선과 평행한 다른 원의 접선
“
원과 직선이 만나지 않을 조건을 이용하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선이 만나지 않으려면, **원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름의 길이보다 커야** 합니다.
2. 주어진 원의 중심(0,0)과 반지름(2)을 찾습니다.
3. 원의 중심과 직선 y=√3x+k 사이의 거리를 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. ‘거리 > 반지름’ 이라는 부등식을 세우고, k에 대한 절댓값 부등식을 풀어 k의 범위를 구합니다.
주의할 점:
원과 직선의 위치 관계에 따른 d와 r의 대소 관계(dr)를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
원과 직선이 만나지 않을 조건 (d>r)
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원이 직선과 만나지 않을 조건을 이용하여, 중심 좌표에 포함된 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (2a, a)와 반지름 5를 찾습니다.
2. 원의 중심과 직선 3x-4y+5=0 사이의 거리가 반지름 5보다 커야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 a에 대한 절댓값 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀고, ‘제3사분면 위의 점’이라는 조건(2a
주의할 점:
중심의 좌표가 미지수이더라도 당황하지 말고 그대로 거리 공식에 대입하여 부등식을 풀면 됩니다. 사분면 조건을 마지막에 고려하는 것을 잊지 마세요.
”
만나지 않을 때 중심 좌표의 범위
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지름의 양 끝점으로 원을 구하고, 이 원이 직선과 만나지 않을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식을 구하여, 중심과 반지름을 찾습니다.
2. 이 원의 중심과 직선 2x+y-k=0 사이의 거리가 반지름보다 커야 합니다.
3. 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀고, ‘자연수 k’의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
두 가지 기본 개념(지름으로 원 구하기, 만나지 않을 조건)을 순서대로 적용하는 문제입니다. 각 단계의 계산을 정확히 해야 합니다.
”
지름으로 원을 구하고 만나지 않을 조건
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한 직선이 한 원과는 만나지 않고, 다른 원과는 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (조건 1) 직선이 첫 번째 원과 만나지 않아야 하므로, (첫 번째 원의 중심과 직선 사이의 거리) > (첫 번째 원의 반지름) 이라는 부등식을 풀어 k의 범위를 구합니다.
2. (조건 2) 직선이 두 번째 원과 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로, (두 번째 원의 중심과 직선 사이의 거리) 3. 두 부등식의 해를 **모두 만족하는 공통 범위**를 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 위치 관계 조건을 각각 부등식으로 표현하고, 최종적으로 연립부등식을 푸는 문제입니다.
”
한 원과는 안 만나고 다른 원과는 만날 조건
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기울기가 주어진 원의 접선의 방정식 공식을 유도하는 과정을 빈칸 추론으로 제시한 문제입니다.
접근법:
1. 이 증명은 원과 직선의 방정식을 연립하여 만든 이차방정식의 판별식 D=0 임을 이용합니다.
2. (가): 판별식 D=b²-4ac 에서 a, c에 해당하는 부분을 정확히 찾습니다.
3. (나), (다): 판별식 D=0 이라는 방정식을 y절편 n에 대해 정리하여 n의 값을 구합니다. 이를 원래 직선의 방정식 y=mx+n에 대입하면 최종 공식이 완성됩니다.
주의할 점:
공식의 유도 과정을 이해하는 것은 개념을 깊이 있게 학습하는 데 도움이 됩니다. 판별식을 이용한 접근법은 원과 직선의 위치 관계를 다루는 가장 기본적인 방법입니다.
”
기울기가 주어진 접선 공식 유도 과정
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기울기가 주어진 원의 접선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 (-2,5)로 평행이동되었으므로, 먼저 중심이 원점인 경우의 접선 공식을 생각합니다.
2. 중심이 원점이고 반지름이 √10, 기울기가 3인 접선의 방정식은 y = 3x ± √10 * √(3²+1) 입니다.
3. 이 접선을 원의 중심이 (-2,5)가 되도록 x축으로 -2, y축으로 5만큼 **평행이동** 시켜주면 구하는 접선의 방정식이 됩니다.
4. 두 개의 접선 방정식이 나오며, 각 직선의 y절편을 찾아 곱합니다.
주의할 점:
중심이 (a,b)인 경우의 공식 y-b = m(x-a) ± r√(m²+1) 을 직접 사용하거나, 원점 중심 공식을 이용한 뒤 평행이동하는 방법 모두 가능합니다.
”
중심이 원점이 아닌 원의 접선
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주어진 직선에 평행한 원의 접선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선과 평행하므로, 구하려는 접선의 기울기는 같습니다. 직선의 방정식을 정리하여 기울기를 구합니다.
2. 원의 중심은 원점(0,0)이고 반지름은 √17 입니다.
3. 기울기가 주어진 원의 접선 공식을 이용해, 두 개의 접선의 방정식을 구합니다.
4. 두 접선의 y축과 만나는 점(y절편)을 각각 찾고, 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
평행한 접선은 항상 두 개가 존재하며, 이들은 원의 중심에 대해 대칭입니다.
”
주어진 직선에 평행한 접선
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중심이 직선 y=x 위에 있고, x축과 y축에 동시에 접하며, 다른 직선과도 접하는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 y=x 위에 있고 축에 동시에 접하므로, 중심을 (a,a), 반지름을 |a|로 설정할 수 있습니다.
2. 이 원이 직선 3x-4y+12=0과도 접하므로, 중심 (a,a)와 이 직선 사이의 거리가 반지름 |a|와 같다는 등식을 세웁니다.
3. a에 대한 절댓값 방정식을 풀면, 조건을 만족하는 두 개의 a값이 나옵니다.
4. 두 원의 중심은 각각 (a₁, a₁) 과 (a₂, a₂) 이 됩니다. 두 중심 사이의 거리를 계산하여 제곱한 값을 구합니다.
주의할 점:
여러 접촉 조건이 주어졌을 때, 각 조건을 식으로 정확히 옮기는 것이 중요합니다.
”
x,y축과 직선 y=x에 동시 접촉
