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x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 주어진 접선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. x축 양의 방향과 이루는 각이 60°이므로, 접선의 기울기는 **tan(60°)** 입니다.
2. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 구합니다.
3. 중심이 (a,b)이고 반지름이 r, 기울기가 m인 접선의 방정식 공식 **y-b = m(x-a) ± r√(m²+1)** 을 이용합니다.
4. 두 개의 접선 방정식이 나오며, 각 직선의 y절편 P, Q를 구한 뒤 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
중심이 원점이 아닌 원의 접선 공식을 정확히 암기하고 적용할 수 있어야 합니다.
”
각의 크기로 기울기가 주어진 접선
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한 원에 접하고 다른 원의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 직선은 두 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 두 번째 원의 중심 (1,0)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (1,0)을 지나고 첫 번째 원에 접하는 직선’을 찾는 것으로 바뀝니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고, 점 (1,0)을 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 첫 번째 원의 중심 (-1,0) 사이의 거리가 첫 번째 원의 반지름 1과 같다는 조건을 이용해 m값을 구합니다.
5. 양수 기울기 m(a)을 찾고, 직선의 방정식(y=m(x-1))을 통해 b값을 찾아 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 이 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
한 원에 접하고 다른 원 넓이 이등분
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기울기가 -1인 접선을 평행이동시켜 다른 접선과 일치시키는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원 x²+y²=4에 접하고 기울기가 -1인 접선은 두 개가 있습니다. 공식을 이용해 두 접선의 방정식(y=-x+2√2, y=-x-2√2)을 모두 구합니다.
2. 제1사분면에서 접하는 것은 y절편이 양수인 y=-x+2√2 입니다.
3. 이 직선을 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y=-x+2√2+n 입니다.
4. 이 평행이동한 직선이 제3사분면에서 접하는 직선, 즉 y=-x-2√2 와 일치해야 합니다.
5. y절편이 같아야 하므로, 2√2+n = -2√2 라는 등식을 풀어 n값을 구합니다.
주의할 점:
기울기가 같은 접선은 y절편만 다릅니다. 평행이동은 y절편의 변화를 의미한다는 것을 이해하면 쉽게 풀 수 있습니다.
”
평행이동으로 접선 일치시키기
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원 위의 동점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형의 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABP에서 선분 AB를 밑변으로 고정합니다. 밑변의 길이는 일정합니다.
2. 넓이가 최대가 되려면 **높이가 최대**여야 합니다. 높이는 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다.
3. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은, **(원의 중심과 직선 사이의 거리) + (반지름)** 입니다.
4. 직선 AB의 방정식을 구하고, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리를 구한 뒤, 반지름을 더해 최대 높이를 찾습니다.
5. 밑변과 최대 높이를 이용해 넓이의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
이 유형의 문제에서 최대/최소 높이는 항상 원의 중심을 기준으로 한다는 점을 기억해야 합니다.
”
원 위의 점과 삼각형 넓이의 최댓값
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원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용해 기울기의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (0,2)와 반지름 1을 찾습니다.
2. 원의 중심과 직선 y=mx+4 사이의 거리가 반지름 1보다 작다는 부등식을 세웁니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 m에 대한 분수 형태의 부등식을 만듭니다.
4. 양변을 정리하고 제곱하여 m에 대한 이차부등식을 풀면 m의 범위를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
분수 부등식을 풀 때, 분모는 항상 양수이므로 양변에 곱해도 부등호의 방향이 바뀌지 않습니다. 양변을 제곱할 때도 양수임을 확인해야 합니다.
”
기울기가 주어진 원과 직선의 교점 범위
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원과 평행한 접선의 y절편의 곱을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=x+2와 평행하므로, 구하려는 접선의 기울기는 1입니다.
2. 중심이 원점이고 반지름이 3인 원에 접하는 기울기 1인 접선의 방정식은 **y = 1*x ± 3√(1²+1)** 입니다.
3. 두 개의 접선 방정식이 나오며, 각 방정식의 y절편은 ±3√2 입니다.
4. 두 y절편의 곱을 계산합니다.
주의할 점:
y=mx±r√(m²+1) 공식은 중심이 원점일 때만 사용할 수 있습니다. 이 문제에서는 중심이 원점이므로 바로 적용 가능합니다.
”
평행한 접선의 y절편의 곱
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주어진 점들을 지나는 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원점과 두 점 (4,0), (0,2)를 지나는 원의 방정식을 구합니다. (세 점이 직각삼각형을 이루므로, 빗변이 지름이 됨을 이용하면 쉽습니다.)
2. 구한 원의 중심과 반지름을 찾습니다.
3. 원의 중심과 직선 x-2y+k=0 사이의 거리가 반지름보다 작다는 부등식을 세웁니다.
4. k에 대한 절댓값 부등식을 풀어 범위를 찾고, 자연수 k의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
세 점이 주어졌을 때, 직각삼각형인지 먼저 확인하는 습관을 들이면 원의 방정식을 매우 쉽게 구할 수 있습니다.
”
세 점을 지나는 원과 직선의 교점 조건
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원 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 유도하는 과정을 묻는 빈칸 추론 문제입니다.
접근법:
1. 이 증명은 **반지름과 접선이 수직**이라는 기하학적 성질을 이용합니다.
2. (가): 반지름 OP와 접선 l은 서로 수직입니다.
3. (나), (다): 직선 OP의 기울기를 구하고, 수직인 직선 l의 기울기는 그것의 음수의 역수임을 이용합니다.
4. (라), (마): 점 P를 지나고 (다)의 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세우고, 점 P가 원 위의 점이라는 조건(x₁²+y₁²=r²)을 이용해 식을 최종적으로 정리합니다.
주의할 점:
공식의 유도 과정을 이해하면, 중심이 원점이 아닌 경우에도 동일한 원리를 적용하여 접선의 방정식을 유도할 수 있습니다.
”
원 위의 점에서의 접선 공식 유도
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한 직선이 두 원과 만나는 교점의 개수에 대한 조건을 만족하는 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 교점의 총합이 3개가 되는 경우는, 직선이 한 원과는 접하고(교점 1개), 다른 원과는 서로 다른 두 점에서 만나는(교점 2개) 경우입니다.
2. (경우 1) 직선이 첫 번째 원에 접하고, 두 번째 원과 두 점에서 만나는 k값을 찾습니다.
3. (경우 2) 직선이 두 번째 원에 접하고, 첫 번째 원과 두 점에서 만나는 k값을 찾습니다.
4. 두 경우에서 나온 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
각 경우에 대해 접할 조건(d=r)과 두 점에서 만날 조건(d
”
교점의 총 개수가 3개일 조건
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원 위의 한 점에서의 접선과 다른 직선의 수직 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=20 위의 점 (2,4)에서의 접선의 방정식을 공식(x₁x + y₁y = r²)을 이용해 구합니다. (2x+4y=20)
2. 이 접선과 주어진 직선 kx-3y+6=0이 서로 수직입니다.
3. 두 직선이 수직일 조건(기울기의 곱=-1 또는 일반형에서 aa’+bb’=0)을 이용해 k값을 구합니다.
주의할 점:
원 위의 점에서의 접선 공식을 정확히 암기하고, 두 직선의 수직 조건을 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
”
원 위의 점 접선과 다른 직선의 수직 조건
