“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 y절편으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 점 (3,1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원(x²+y²=1)에 접할 조건(중심과의 거리가 반지름과 같다)을 이용해, m에 대한 이차방정식을 풉니다. 두 개의 m값이 나옵니다.
3. 각각의 m값에 대해 두 접선의 방정식을 구합니다.
4. 두 접선의 y절편(점 B, C)을 각각 구합니다.
5. 세 점 A(3,1), B, C로 이루어진 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
두 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식을 먼저 구하여 푸는 방법도 있지만, 기울기를 미지수로 설정하는 것이 더 일반적인 풀이법입니다.
”
원 밖에서 그은 접선과 삼각형 넓이
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 y축으로 둘러싸인 도형(삼각형)의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원 밖의 점 (3,0)에서 원에 그은 두 접선의 방정식을 구합니다.
– (방법) 접점을 (x₁, y₁)로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤, 이 직선이 (3,0)을 지남을 이용합니다. 접점이 원 위의 점이라는 조건과 연립하여 접점을 찾습니다.
2. 두 개의 접선의 방정식을 각각 구합니다.
3. 각 접선이 y축과 만나는 점, 즉 y절편을 구합니다.
4. 두 y절편과 점 (3,0)을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 계산합니다. (밑변은 y축 위에, 높이는 점의 x좌표가 됨)
주의할 점:
원 밖의 한 점에서 그은 접선을 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하거나, 이 풀이처럼 접점을 미지수로 두는 방법 모두 익숙해져야 합니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 기울기의 합
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 기울기의 합을 묻는 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용합니다.
접근법:
1. 구하려는 접선의 기울기를 m이라 하고, 점 (3,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원에 접하므로, 원의 중심 (1,1)과 직선 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세웁니다.
3. 이 등식을 정리하면 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 접선의 기울기입니다.
4. 문제에서 ‘기울기의 합’을 요구했으므로, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
기울기를 직접 구하려고 하면 계산이 복잡해질 수 있습니다. ‘모든 값의 합’을 묻는 것은 근과 계수의 관계를 사용하라는 강력한 힌트입니다.
”
원과 만나는 직선 기울기의 최댓값
“
원 밖의 한 점을 지나는 직선이 원과 만날 때, 그 직선의 기울기의 최댓값을 구하는 문제입니다. 이는 직선이 원에 접할 때 발생합니다.
접근법:
1. 점 (4,0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=12와 만나야 하므로, 원의 중심 (0,0)과 직선 사이의 거리가 반지름(√12)보다 작거나 같아야 합니다.
3. 기울기가 최대 또는 최소가 되는 순간은 직선이 원에 접하는 순간입니다.
4. 따라서, 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같다는 등식을 세워 m에 대한 이차방정식을 풀고, 두 기울기 중 큰 값을 최댓값으로 선택합니다.
주의할 점:
점이 원 밖에 있을 때, 그 점을 지나는 직선의 기울기는 접할 때 최대/최소를 갖는다는 기하학적 상황을 이해하는 것이 중요합니다.
”
한 원 넓이 이등분, 다른 원에 접하는 직선
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한 원의 넓이를 이등분하고 다른 원에 접하는 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 첫 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 그 원의 중심 (2,-3)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (2,-3)을 지나고 원 x²+y²=1에 접하는 직선’을 찾는 문제로 단순화됩니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (2,-3)을 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 x²+y²=1의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세워 m값을 구합니다.
5. m에 대한 이차방정식이 나오므로, 근과 계수의 관계를 통해 기울기의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 이 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
한 원에 접하고, 다른 원 넓이 이등분
“
한 원에 접하고 다른 원의 넓이를 이등분하는 직선 문제입니다. 454번과 조건의 순서만 바뀌었습니다.
접근법:
1. 직선이 원 O’의 넓이를 이등분하므로, 원 O’의 중심 (0,4)를 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (0,4)를 지나고 원 O에 접하는 직선’을 찾는 것으로 바뀝니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (0,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 O의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 2와 같다는 조건을 이용해 m값을 구합니다.
5. 문제의 조건에 맞는 양수 기울기를 선택하여 직선을 완성하고, 주어진 점을 대입해 a값을 구합니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 어떤 순서로 해석하든, 결국 ‘특정 점을 지나고 원에 접하는 직선’을 찾는 문제로 귀결됩니다.
”
두 접선이 이루는 각의 이등분선
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P와 원의 중심 C를 지나는 직선은 두 접선이 이루는 각을 항상 이등분합니다.
2. 또한, 점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선도 두 접선이 이루는 각(의 외각)을 이등분합니다.
3. 따라서, **직선 PC의 방정식**과, **점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선의 방정식** 두 개를 구하면 됩니다.
4. 점 P(3,0)와 원의 중심 (1,-2)의 좌표를 이용해 두 직선의 방정식을 각각 구하고, 계수를 비교합니다.
주의할 점:
두 접선 자체를 구하는 것은 매우 복잡합니다. 각의 이등분선이 갖는 기하학적 성질(중심을 지난다)을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 y절편
“
원 위의 두 점에서 그은 각각의 접선의 교점을 찾고, 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 P(-1,3)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 원 위의 점 Q(3,1)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
3. 두 접선의 방정식을 연립하여 교점 R의 좌표를 찾습니다.
4. 사각형 OPRQ의 넓이를 구합니다. 이 사각형은 두 개의 합동인 직각삼각형(OPR과 OQR)으로 이루어져 있으므로, 한쪽 삼각형의 넓이를 구해 2배 하면 됩니다.
주의할 점:
두 접선이 수직임을 파악하면, 사각형 OPRQ가 한 변의 길이가 반지름인 정사각형이 되어 넓이를 더 쉽게 구할 수 있습니다.
”
원 위의 두 접선의 교점과 사각형 넓이
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 y축과 만나는 점의 좌표를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (2,-4)에서 원 x²+y²=2에 그은 두 접선의 방정식을 구해야 합니다.
2. 접선의 기울기를 m이라 두고, 점 (2,-4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
3. 원의 중심 (0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름(√2)과 같다는 조건을 이용해 m에 대한 이차방정식을 풉니다.
4. 두 개의 m값이 나오면, 각각의 접선의 방정식을 완성합니다.
5. 각 접선의 방정식에서 y절편(x=0일 때 y값)을 구하면 그것이 a와 b가 됩니다.
주의할 점:
접선의 방정식을 구하는 과정에서 계산이 복잡할 수 있습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 x절편
“
원이 직선과 만나지 않을 조건을 이용하여, 중심 좌표에 포함된 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (2a, a)와 반지름 5를 찾습니다.
2. 원의 중심과 직선 3x-4y+5=0 사이의 거리가 반지름 5보다 커야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 a에 대한 절댓값 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀고, ‘제3사분면 위의 점’이라는 조건(2a
주의할 점:
중심의 좌표가 미지수이더라도 당황하지 말고 그대로 거리 공식에 대입하여 부등식을 풀면 됩니다. 사분면 조건을 마지막에 고려하는 것을 잊지 마세요.
”
만나지 않을 때 중심 좌표의 범위
