“
대칭이동을 이용한 최단 거리 값이 주어졌을 때, 원래 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 제1사분면 위의 점 A를 (a,b) (a>0, b>0)로 설정합니다.
2. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 B(b,a)를 구합니다.
3. 점 A를 x축에 대해 대칭이동한 점 A'(a,-b)를 구합니다.
4. AP+PB의 최솟값은 **선분 A’B의 길이**와 같습니다. 이 길이가 10√2라고 주어졌습니다.
5. 두 점 A’, B 사이의 거리 공식을 이용해 a,b에 대한 식을 세우고, 이 값이 10√2와 같다고 놓습니다.
6. 식을 정리하면 a와 b의 관계를 알 수 있고, 이를 통해 원점과 A 사이의 거리 OA를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
최단 거리 문제를 역으로 풀어가는 과정입니다. 대칭이동의 원리를 정확히 이해하고 있어야 방정식을 올바르게 세울 수 있습니다.
”
평행이동을 이용한 최단 거리(강 건너기)
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대칭이동을 통해 최단 거리가 되는 점의 위치를 찾고, 그 점을 이용해 새로운 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. AP+BP가 최소가 되는 점 P₀는, 점 A(또는 B)를 y=x에 대해 대칭이동한 점과 나머지 점을 이은 직선과 y=x의 교점입니다.
2. 직선 AP₀를 y=x에 대해 대칭이동하면, 그 직선은 대칭점 A’과 B를 지나게 됩니다. 즉, **직선 A’B**가 됩니다.
3. 따라서, 두 점 A'(0,1)과 B(6,5)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 이 직선이 점 (9,a)를 지나므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
직선 AP₀의 대칭이동이 직선 A’B와 같아진다는 기하학적 관계를 이해하는 것이 중요합니다.
”
기울어진 직선을 이용한 최단 거리
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대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다. 두 점이 모두 직선 밖과 축 밖에 고정되어 있습니다.
접근법:
1. 점 A를 점 C가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
2. 점 B를 점 D가 움직이는 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점 B’을 구합니다.
3. AD+CD+BC의 최솟값은, 대칭이동된 두 점 A’과 B’ 사이의 거리와 같습니다.
4. (해설의 접근) 이 문제는 AD+DC+CB의 최솟값을 묻고 있습니다. 점 A를 y=x에 대칭, 점 B를 x축에 대칭시켜 두 대칭점을 잇는 거리를 구합니다.
주의할 점:
문제에서 요구하는 경로가 어떤 점들을 순서대로 잇는 것인지 명확히 파악하고, 그에 맞게 대칭이동을 적용해야 합니다.
”
포물선의 이동과 x축 접선 조건
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대칭이동과 원과 점 사이의 거리를 결합한 최단 거리 문제입니다. 628번과 유사합니다.
접근법:
1. AQ+QP의 최솟값을 구해야 합니다. 점 A를 Q가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
2. 그러면 AQ+QP = A’Q+QP 이고, 이 값의 최솟값은 점 A’과 원 위의 점 P 사이의 거리의 최솟값과 같습니다.
3. 원의 중심 C와 점 A’ 사이의 거리 d를 구하고, 최솟값 **d – r** (r은 반지름)을 계산합니다.
주의할 점:
최단 거리를 구하는 문제는 항상 꺾인 경로를 직선 경로로 만드는 대칭이동이 첫 단계입니다.
”
원과 포물선의 이동, 접선 조건 종합
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원 위의 점과 x축 위의 점, 그리고 고정된 점을 잇는 거리의 합의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(-3,2)를 점 Q가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A'(-3,-2)를 구합니다.
2. 그러면 AQ+QP = A’Q+QP 입니다. 이 값은 세 점 A’, Q, P가 일직선 위에 있을 때 최소가 되며, 그 최솟값은 선분 A’P의 길이가 됩니다.
3. 결국, 문제는 ‘원 위의 점 P’와 ‘원 밖의 점 A” 사이의 거리의 최솟값’을 구하는 것으로 바뀝니다.
4. 원의 중심 B(5,4)와 점 A'(-3,-2) 사이의 거리 d를 구하고, 최솟값 **d – r** (r은 원의 반지름)을 계산합니다.
주의할 점:
x축에 대한 대칭이동을 통해, 꺾인 경로(AQ+QP)를 직선 경로(A’P)로 변환하는 것이 핵심 아이디어입니다.
”
평행이동 후 원의 조건 연립
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두 점과 한 직선 위의 점으로 만들어지는 거리의 합이 최소가 될 때, 좌표의 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. AC+BC가 최소가 되려면, 한 점(예: A)을 직선 l(y=-x+2)에 대해 대칭이동한 점 A’을 구해야 합니다.
2. 최솟값은 선분 A’B의 길이가 됩니다.
3. 이 문제에서는 최솟값이 아닌, 최소가 될 때의 점 B의 좌표 관계를 묻고 있습니다.
4. 기하학적으로, 최단 경로가 되는 점 B는 **선분 A’C**가 직선 l과 만나는 점이 됩니다. (문제 오류 가능성 있음. C가 x축 위의 점이므로 A를 x축 대칭해야 함)
주의할 점:
문제의 조건이 다소 모호하게 표현되어 있습니다. ‘AC+BC의 값이 최소’라면 A를 x축에 대칭이동해야 하고, 다른 조건이라면 그에 맞는 대칭이동을 적용해야 합니다.
”
평행이동 후 내접원의 방정식
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직선 y=x를 이용한 연속적인 대칭이동과 거리의 최솟값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. AP+PB+BQ+QC의 경로를 직선으로 펴기 위해 대칭이동을 활용합니다.
2. 점 A(0,1)을 P가 움직이는 y=x에 대해 대칭이동한 점 A'(1,0)을 구합니다.
3. 점 C(0,4)를 Q가 움직이는 y=x에 대해 대칭이동한 점 C'(4,0)을 구하려고 할 수 있으나, B도 고정점이므로 다른 접근이 필요합니다.
4. (해설 접근) A→A'(y=x 대칭), C→C'(y=x 대칭)을 하면, 최단거리는 A’B + BC’이 됩니다. 점 P,Q가 직선 y=x 위에 있으므로, A를 대칭한 A’과 B, B와 C’을 잇는 두 직선 경로의 합이 됩니다. 이 경로가 최소가 되는 P, Q를 찾습니다.
주의할 점:
고정점이 3개, 움직이는 점이 2개인 복잡한 상황입니다. 각 선분 쌍에 대해 어떤 점을 대칭이동해야 경로가 펴지는지 신중하게 판단해야 합니다.
”
선대칭(종이접기)을 이용한 점의 좌표
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두 원이 한 직선에 대하여 서로 대칭일 때, 그 대칭축 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원이 한 직선에 대해 대칭이므로, 두 원의 반지름은 같아야 합니다. (문제에서 반지름이 같음을 확인)
2. 대칭축인 직선은, 두 원의 중심을 잇는 선분의 수직이등분선입니다.
3. 두 원의 중심 좌표를 각각 구합니다.
4. 619번 문제와 동일하게, 두 중심을 잇는 선분의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
5. 구한 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
두 도형이 직선 대칭이라는 것은, 그 직선이 두 도형의 ‘대응점(원의 경우 중심)’을 잇는 선분의 수직이등분선이라는 기하학적 의미를 파악하는 것이 중요합니다.
”
최단 경로 직선의 대칭이동
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좌표 설정을 통해 실생활 최단 거리 문제를 해결하는 대표적인 유형입니다.
접근법:
1. 시냇가를 x축으로 설정하고, 한 지점 P를 원점으로 둡니다. 그러면 A(0,40), Q(90,0), B(90,80)으로 좌표를 설정할 수 있습니다.
2. 소가 시냇가의 한 지점 R을 거쳐 B로 가는 경로(AR+RB)의 최단 거리를 구해야 합니다.
3. 이는 한 점(A)을 대칭축(x축)에 대해 대칭이동한 점 A’을 구한 뒤, A’과 B를 잇는 직선 거리를 구하는 것과 같습니다.
4. 점 A'(0,-40)과 B(90,80) 사이의 거리를 계산하면 최단 거리가 나옵니다.
주의할 점:
실생활 문제를 적절한 좌표평면으로 옮겨오는 모델링 과정이 가장 중요합니다. 어떤 것을 축으로 설정할지, 어떤 점을 원점으로 할지에 따라 계산의 편의성이 달라집니다.
”
이동 후 삼각형 넓이 최대와 원래 점
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주어진 도형을 이동시켜 특정 모양이 되는 이동 규칙을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 이동 규칙이 어떤 변환을 의미하는지 분석합니다.
– (ㄱ) f(x+1, -y) : y축 대칭 후 x축으로 -1만큼 평행이동
– (ㄴ) f(x-1, -y) : y축 대칭 후 x축으로 1만큼 평행이동
– (ㄷ) f(1-x, y) = f(-(x-1), y) : y축 대칭 후 x축으로 1만큼 평행이동
2. 각 변환을 [그림 1]의 도형에 적용했을 때, 그 결과가 [그림 2]와 일치하는지 확인합니다.
3. ㄴ과 ㄷ은 동일한 변환이므로, 둘 중 하나만 확인하면 됩니다.
주의할 점:
f(1-x, …)와 같은 표현은 f(-(x-1), …)로 변환하여 대칭이동과 평행이동을 분리해서 생각하는 것이 중요합니다.
”
두 포물선의 점대칭 조건
