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마플시너지공통수학2풀이해설0607고퀄리티 풀이영상제공0607 점대칭 포물선과 직선 교점의 원점 대칭

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[문제 607] 핵심 개념 및 풀이 전략

f(x,y)=0으로 표현된 도형(삼각형)을 이동시킨 후, 그 도형의 무게중심을 찾는 문제입니다.

접근법:
1. (이동 규칙 파악) f(-y+4, x+3)=0은 f(x,y)=0에 어떤 변환을 적용한 것인지 분석합니다. 이는 점 (x,y)를 점 (-y+4, x+3)으로 옮기는 변환으로 해석할 수 있습니다.
2. (무게중심 이동) 원래 삼각형 ABC의 무게중심 G를 먼저 구합니다.
3. 1단계에서 파악한 이동 규칙에 따라 점 G를 이동시킨 새로운 점 G’의 좌표를 구합니다. 이 점이 이동된 도형의 무게중심 (a,b)가 됩니다.
4. (다른 해석) f(y, -x) : y=x 대칭 후 x축 대칭 → f(y-4, -(x+3)) : 이후 평행이동. 이 방법은 복잡합니다.

주의할 점:
도형의 각 꼭짓점을 모두 이동시켜 새로운 무게중심을 구하는 것보다, 원래 무게중심을 한 번만 이동시키는 것이 훨씬 효율적입니다.

”

점대칭 포물선과 직선 교점의 원점 대칭

마플시너지공통수학2풀이해설0608고퀄리티 풀이영상제공0608 점의 직선 대칭이동 (중점, 수직)

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[문제 608] 핵심 개념 및 풀이 전략

주어진 도형을 이동시켜 다른 도형과 겹쳐지게 하는 이동 규칙을 찾는 문제입니다.

접근법:
1. 도형 A의 기준점(예: 우측 상단 꼭짓점 (2,3))과 도형 B의 기준점(-1,-1)을 비교하여, 단순 평행이동만으로는 겹쳐지지 않음을 확인합니다.
2. 각 보기의 이동 규칙을 하나씩 도형 A에 적용해 봅니다.
– (ㄱ, ㄴ) 평행이동만으로는 불가능합니다.
– (ㄷ) 원점 대칭 후 평행이동
– (ㄹ) y=x 대칭 후 평행이동
3. 각 변환을 도형 A의 꼭짓점들에 적용하여, 그 결과가 도형 B의 꼭짓점들과 일치하는 경우를 모두 찾습니다.

주의할 점:
하나의 이동으로 표현되지 않을 수 있습니다. 대칭이동과 평행이동이 결합된 복합적인 변환을 고려해야 합니다.

”

점의 직선 대칭이동 (중점, 수직)

마플시너지공통수학2풀이해설0609고퀄리티 풀이영상제공0609 두 점이 직선에 대해 대칭일 때 축 찾기

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[문제 609] 핵심 개념 및 풀이 전략

대칭이동과 평행이동을 거친 도형 위의 점과 원점 사이의 거리의 최대/최소를 찾는 문제입니다.

접근법:
1. 먼저 f(-x-1, -y-1)=0 이 나타내는 도형이 어떤 도형인지 찾습니다. 이는 f(x,y)=0을 원점 대칭한 후, x축으로 -1만큼, y축으로 -1만큼 평행이동한 도형입니다.
2. 원래 도형의 꼭짓점들을 1단계의 규칙에 따라 이동시켜, 새로운 도형의 꼭짓점 좌표를 모두 구합니다.
3. **(최댓값 M)** 새로운 도형의 꼭짓점들 중 원점에서 가장 먼 점까지의 거리를 구합니다.
4. **(최솟값 m)** 새로운 도형의 변들 중 원점에서 가장 가까운 변(직선)까지의 거리를 구합니다.
5. M²과 m²을 더하여 답을 구합니다.

주의할 점:
최솟값은 꼭짓점까지의 거리가 아닐 수 있습니다. 원점에서 도형의 각 변을 포함하는 직선까지의 거리를 구해보고, 그 중 가장 짧은 거리가 도형의 경계 내에 있는지 확인해야 합니다.

”

두 점이 직선에 대해 대칭일 때 축 찾기

마플시너지공통수학2풀이해설0610고퀄리티 풀이영상제공0610 원을 직선에 대해 대칭이동

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[문제 610] 핵심 개념 및 풀이 전략

604번 문제와 유사하게 f(x,y)=0 형태의 도형을 복합적으로 이동시키는 문제입니다.

접근법:
1. (이동 규칙 파악) f(x+1, 2-y)=0은 f(x+1, -(y-2))=0으로 변환하여 해석합니다.
– f(x, -y) : x축 대칭
– f((x+1), -(y-2)) : x축 대칭 후, x축으로 -1만큼, y축으로 2만큼 평행이동
2. (도형에 적용) 주어진 ‘L’자 모양의 도형을 1단계에서 분석한 순서대로 이동시킵니다.
3. x축 대칭을 먼저 시킨 뒤, 그 결과를 x축으로 -1칸, y축으로 2칸 옮겨 최종 모양을 찾습니다.

주의할 점:
f(…, 2-y)와 같은 표현은 f(…, -(y-2))로 바꾸어 대칭이동과 평행이동을 분리해서 생각하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.

”

원을 직선에 대해 대칭이동

마플시너지공통수학2풀이해설0611고퀄리티 풀이영상제공0611 두 원이 직선에 대해 대칭일 조건

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[문제 611] 핵심 개념 및 풀이 전략

직선을 점에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.

접근법:
1. (방법 1: 자취 이용) 원래 직선 위의 임의의 점 P(a,b)를 점 (2,1)에 대해 대칭이동한 점을 Q(x,y)라 합니다. 두 점 P, Q의 중점이 (2,1)임을 이용해 a,b를 x,y로 표현하고, 이를 원래 직선의 방정식에 대입하여 자취를 구합니다.
2. (방법 2: 평행선 이용) 점대칭한 직선은 원래 직선과 평행합니다. 따라서 기울기는 같습니다. 원래 직선 위의 한 점을 잡아 점 (2,1)에 대해 대칭이동시킨 점을 구하고, 이 점을 지나면서 원래 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구합니다.

주의할 점:
방법 2가 더 직관적이고 계산이 간단합니다. ‘점대칭 이동한 직선은 원래 직선과 평행하다’는 성질을 기억하는 것이 중요합니다.

”

두 원이 직선에 대해 대칭일 조건

마플시너지공통수학2풀이해설0612고퀄리티 풀이영상제공0612 직선을 다른 직선에 대해 대칭이동

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[문제 612] 핵심 개념 및 풀이 전략

점대칭과 평행이동이 순차적으로 적용된 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.

접근법:
1. (점대칭) 먼저 직선 y=2x+3을 점 (1,2)에 대해 대칭이동한 직선의 방정식을 구합니다. (611번 참고)
2. (평행이동) 1단계에서 구한 직선을 x축으로 3만큼, y축으로 -2만큼 평행이동합니다. (x→x-3, y→y+2 대입)
3. 최종적으로 얻은 직선이 점 (a,-3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.

주의할 점:
이동의 순서(점대칭 후 평행이동)를 정확히 지켜야 합니다. 각 이동에 대한 규칙을 정확하게 적용하는 것이 중요합니다.

”

직선을 다른 직선에 대해 대칭이동

마플시너지공통수학2풀이해설0613고퀄리티 풀이영상제공0613 점의 직선 대칭과 삼각형 넓이

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[문제 613] 핵심 개념 및 풀이 전략

원을 점에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.

접근법:
1. 원의 점대칭 이동은 원의 중심을 점대칭 이동하는 것과 같습니다. 반지름은 변하지 않습니다.
2. 원래 원의 중심 (-1,3)을 점 (1,-2)에 대해 대칭이동한 새로운 중심의 좌표를 구합니다. (두 점의 중점이 (1,-2)임을 이용)
3. 이 새로운 중심이 직선 y=x+a 위에 있으므로, 중심의 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.

주의할 점:
원 전체의 방정식을 이동시키는 것은 복잡합니다. 항상 중심점의 이동으로 문제를 단순화하여 푸는 것이 효율적입니다.

”

점의 직선 대칭과 삼각형 넓이

마플시너지공통수학2풀이해설0614고퀄리티 풀이영상제공0614 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값

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[문제 614] 핵심 개념 및 풀이 전략

점대칭 이동한 직선이 원에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.

접근법:
1. 먼저 직선 4x+3y-3=0을 점 (1,0)에 대해 대칭이동한 새로운 직선의 방정식을 구합니다. (611번 참고)
2. 이 새로운 직선이 주어진 원에 접하므로, 원의 중심(-2,1)과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름 r과 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세워 양수 r값을 구합니다.

주의할 점:
점대칭 이동과 원의 접선 조건(d=r)이라는 두 가지 핵심 개념을 순차적으로 정확하게 적용해야 합니다.

”

대칭이동을 이용한 거리의 최솟값

마플시너지공통수학2풀이해설0615고퀄리티 풀이영상제공0615 최단 거리가 되는 점의 좌표 찾기

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[문제 615] 핵심 개념 및 풀이 전략

점대칭 이동한 직선과 원이 만나 생기는 현의 길이를 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 직선 3x+4y+7=0을 점 (2,-3)에 대해 대칭이동한 새로운 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘새로운 직선과 원 x²+y²=25가 만나 생기는 현의 길이’를 구하는 것으로 바뀝니다.
3. 원의 중심(0,0)과 새로운 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 원의 반지름 r은 5입니다.
5. 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 을 이용해 현의 길이를 구합니다.

주의할 점:
점대칭 이동, 현의 길이 구하기 등 여러 기본 개념이 순차적으로 사용되는 종합 문제입니다.

”

최단 거리가 되는 점의 좌표 찾기

마플시너지공통수학2풀이해설0616고퀄리티 풀이영상제공0616 연속 대칭이동을 이용한 최단 거리

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[문제 616] 핵심 개념 및 풀이 전략

두 포물선이 한 점에 대하여 대칭일 조건을 이용하는 문제입니다.

접근법:
1. 두 포물선이 한 점에 대해 대칭이려면, 두 포물선의 모양(이차항의 계수의 절댓값)이 같고, 볼록한 방향이 반대여야 합니다.
2. 가장 중요한 특징은, 대칭의 중심점은 바로 두 포물선의 꼭짓점의 중점이라는 것입니다.
3. 각 포물선을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
4. 두 꼭짓점의 중점 좌표를 구하면, 그 점이 바로 대칭의 중심 (a,b)가 됩니다.

주의할 점:
‘점대칭’의 기하학적 중심이 ‘두 도형의 꼭짓점의 중점’과 일치한다는 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.

”

연속 대칭이동을 이용한 최단 거리