“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 402번 문제와 같이 기하학적 성질을 이용합니다. 삼각형 PAB의 밑변을 AB, 높이를 PQ(Q는 선분 AB와 OP의 교점)로 생각합니다.
2. (밑변 AB 구하기) 402번과 같은 방법으로, 직각삼각형 OAP의 넓이를 이용해 선분 AB의 길이를 구합니다.
3. (높이 PQ 구하기) 직각삼각형 OAQ에서 피타고라스 정리를 이용해 OQ의 길이를 구하고, 전체 OP의 길이에서 빼서 높이 PQ를 구합니다.
4. 밑변과 높이를 곱하여 삼각형 PAB의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
계산 과정이 매우 길고 복잡합니다. 각 선분의 길이를 구하기 위해 여러 개의 직각삼각형에서 피타고라스 정리와 넓이 공식을 반복적으로 사용해야 합니다.
”
접점으로 만들어진 삼각형의 넓이
“
418번 문제와 동일하게, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심(1, a)과 반지름(√20)을 찾습니다.
2. 원의 중심과 직선 2x+y+a=0 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
3. 이 거리가 반지름보다 작다는 부등식을 세웁니다.
4. a에 대한 절댓값 부등식을 풀고, 그 범위에 포함되는 정수의 개수를 셉니다.
주의할 점:
원의 중심과 직선의 방정식에 모두 미지수 a가 포함되어 있습니다. 당황하지 말고 그대로 공식에 대입하여 부등식을 풀면 됩니다.
”
서로 다른 두 점에서 만나는 미지수 범위
“
두 원의 공통접선의 길이를 구하는 문제입니다. 두 원의 중심과 접점을 이용해 보조선을 그어 직각삼각형을 만드는 것이 핵심입니다.
접근법:
1. 두 원의 중심 좌표와 반지름을 각각 구합니다.
2. 작은 원의 중심에서 큰 원의 반지름에 수선을 내리면, 두 원의 중심과 수선의 발을 잇는 직각삼각형이 만들어집니다.
3. 이 직각삼각형의 빗변은 ‘두 원의 중심 사이의 거리’가 됩니다.
4. 높이는 ‘두 원의 반지름의 차’가 됩니다.
5. 피타고라스 정리를 이용해 나머지 한 변의 길이(밑변)를 구하면, 이 길이가 바로 공통접선의 길이와 같습니다.
주의할 점:
공통 외접선 문제는 ‘반지름의 차’를, 공통 내접선 문제는 ‘반지름의 합’을 이용해 직각삼각형을 만듭니다. 그림을 그려서 확인하는 것이 가장 확실합니다.
”
두 원의 공통 외접선의 길이
“
중심이 정해진 원이 직선과 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 넓이가 16π 이므로 반지름의 길이는 4입니다.
2. 원의 중심 (k, 6)과 직선 3x+4y+6=0 사이의 거리가 반지름 4보다 작아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 k의 범위를 찾고, 이 범위에 포함되는 정수의 개수를 셉니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 정보(넓이)를 통해 반지름을 먼저 확정해야 합니다. 이후의 풀이는 418, 419번과 동일합니다.
”
넓이가 주어진 원과 직선의 교점 조건
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공통 외접선의 길이가 주어졌을 때, 한 원의 반지름을 구하는 문제입니다. 404번 문제의 역산 과정입니다.
접근법:
1. 두 원의 중심과 반지름 정보를 정리합니다. (한쪽 반지름은 미지수 r)
2. 404번과 같이, 보조선을 그어 직각삼각형을 만듭니다.
3. 빗변은 ‘두 중심 사이의 거리’, 높이는 ‘반지름의 차’, 밑변은 ‘공통접선의 길이(주어짐)’가 됩니다.
4. 피타고라스 정리에 이 값들을 대입하여 r에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
공통접선 길이를 구하는 문제의 핵심이 ‘보조선을 이용한 직각삼각형 만들기’에 있음을 이해하고, 이를 역으로 적용할 수 있어야 합니다.
”
공통 외접선 길이로 반지름 구하기
“
원과 직선이 한 점에서 만날(접할) 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선이 접하려면, **원의 중심에서 직선까지의 거리가 원의 반지름의 길이와 같아야** 합니다.
2. 주어진 원의 방정식에서 중심의 좌표와 반지름의 길이(√k)를 찾습니다.
3. 원의 중심과 주어진 직선 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
4. 3단계에서 구한 거리가 2단계에서 구한 반지름의 길이와 같다고 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
원과 직선의 위치 관계는 ‘중심과 직선 사이의 거리(d)’와 ‘반지름(r)’의 대소 관계로 판단하는 것이 가장 효율적입니다. (d=r: 접한다, dr: 만나지 않는다)
”
원과 직선이 접할 조건 (d=r)
“
원과 직선이 접할 때, 미지수 k와 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심(0,0)과 직선 2x-y+k=0 사이의 거리가 반지름(√5)과 같다는 조건을 이용해 양수 k값을 먼저 구합니다.
2. k값이 정해지면 접선의 방정식이 완성됩니다.
3. 접점은 원과 이 접선의 유일한 교점입니다. 두 방정식을 연립하여 교점의 좌표(a,b)를 찾습니다. (대입하여 이차방정식을 풀면 중근이 나옵니다.)
4. 구한 k, a, b 값을 더합니다.
주의할 점:
접점은 원의 중심에서 접선에 내린 ‘수선의 발’과도 같습니다. 이를 이용해 수선의 발을 구하는 방법으로 접점을 찾을 수도 있습니다.
”
접할 때의 미지수와 접점의 좌표
“
x축에 접하는 원이 다른 직선에도 접할 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 (2,3)이고 x축에 접하므로, 반지름의 길이는 **|중심의 y좌표| = 3** 이 됩니다. 이제 원의 방정식이 완성됩니다.
2. 이 원이 직선 2x-y+k=0 에도 접하므로, 원의 중심(2,3)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 3과 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀어 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
첫 번째 조건(x축에 접함)을 이용해 원의 반지름을 먼저 확정하고, 두 번째 조건(다른 직선에 접함)을 이용해 미지수를 푸는 단계적인 접근이 필요합니다.
”
x축에 접하는 원이 다른 직선에 접할 조건
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x축, y축, 그리고 다른 한 직선에 동시에 접하는 원의 방정식을 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제4사분면에 있고 x, y축에 동시에 접하므로, 중심의 좌표를 (r, -r) (r>0) 로 설정할 수 있으며, 반지름 또한 r입니다.
2. 이 원은 세 번째 직선(4x-3y-4=0)과도 접해야 합니다.
3. 따라서 원의 중심 (r, -r)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 r과 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 r에 대한 절댓값 방정식이 되며, 풀면 두 개의 r값이 나옵니다.
5. 두 원의 넓이는 각각 πr² 이므로, 두 넓이의 합을 구합니다.
주의할 점:
세 직선에 동시에 접하는 원은 일반적으로 4개가 존재할 수 있습니다. 문제에서 주어진 사분면 조건을 통해 경우의 수를 줄여야 합니다.
”
x,y축과 다른 직선에 동시 접하는 원
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x축과 다른 한 직선에 동시에 접하고, 특정 점을 지나는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a,b)라 하면, x축에 접하므로 반지름은 |b|입니다.
2. 이 원이 점 (3,0)을 지나면서 x축에 접하므로, 이 점이 바로 **접점**이 됩니다. 따라서 중심의 x좌표는 3입니다. 중심은 (3,b)가 되고 반지름은 |b|입니다.
3. 원의 중심 (3,b)와 직선 4x-3y+12=0 사이의 거리 또한 반지름 |b|와 같아야 합니다.
4. 이 조건을 이용해 b에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 모든 b값을 찾습니다.
주의할 점:
주어진 점 (3,0)이 x축 위의 점이므로, 이 점이 접점이 된다는 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 지름길입니다.
”
x축과 다른 직선에 동시 접촉과 접점
