“
한 직선이 두 원과 만나는 교점의 개수에 대한 조건을 만족하는 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 교점의 총합이 3개가 되는 경우는, 직선이 한 원과는 접하고(교점 1개), 다른 원과는 서로 다른 두 점에서 만나는(교점 2개) 경우입니다.
2. (경우 1) 직선이 첫 번째 원에 접하고, 두 번째 원과 두 점에서 만나는 k값을 찾습니다.
3. (경우 2) 직선이 두 번째 원에 접하고, 첫 번째 원과 두 점에서 만나는 k값을 찾습니다.
4. 두 경우에서 나온 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
각 경우에 대해 접할 조건(d=r)과 두 점에서 만날 조건(d
”
교점의 총 개수가 3개일 조건
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원 위의 한 점에서의 접선과 다른 직선의 수직 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=20 위의 점 (2,4)에서의 접선의 방정식을 공식(x₁x + y₁y = r²)을 이용해 구합니다. (2x+4y=20)
2. 이 접선과 주어진 직선 kx-3y+6=0이 서로 수직입니다.
3. 두 직선이 수직일 조건(기울기의 곱=-1 또는 일반형에서 aa’+bb’=0)을 이용해 k값을 구합니다.
주의할 점:
원 위의 점에서의 접선 공식을 정확히 암기하고, 두 직선의 수직 조건을 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
”
원 위의 점 접선과 다른 직선의 수직 조건
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선분 위의 점 P에 대하여 특정 각이 90도가 될 조건을 이용하는 고난도 문제입니다. 원주각의 성질을 활용합니다.
접근법:
1. 각 APB=90°를 만족하는 점 P는, **선분 AB를 지름으로 하는 원** 위에 있습니다.
2. 먼저 선분 AB를 지름으로 하는 원의 방정식을 구합니다.
3. 점 P는 이 원 위에도 있으면서, 동시에 선분 CD 위에도 있어야 합니다. 즉, **원과 선분 CD의 교점**이 P가 될 수 있습니다.
4. 따라서 ‘원과 직선 CD가 만날 조건’ (원의 중심과 직선 CD 사이의 거리가 반지름보다 작거나 같다)을 이용해 t의 범위를 구합니다.
주의할 점:
‘각이 90도’라는 조건을 ‘지름에 대한 원주각’으로 해석하여 원의 방정식을 떠올리는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
각이 90도가 되는 점의 자취와 교점
“
원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원과 평행할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=5 위의 점 (-2,1)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 구한 접선과 평행하므로, 기울기가 같습니다. 원 x²+y²=9에 접하면서 이 기울기를 갖는 접선의 방정식을 구합니다.
3. 기울기가 주어진 원의 접선 공식을 이용하면 두 개의 평행한 접선이 나옵니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 정확히 따라야 합니다. 첫 번째 원에서는 ‘접점’을, 두 번째 원에서는 ‘기울기’를 핵심 정보로 사용합니다.
”
원 위의 점 접선과 평행한 다른 원의 접선
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x축, y축, 그리고 다른 한 직선에 동시에 접하는 원의 방정식을 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제4사분면에 있고 x, y축에 동시에 접하므로, 중심의 좌표를 (r, -r) (r>0) 로 설정할 수 있으며, 반지름 또한 r입니다.
2. 이 원은 세 번째 직선(4x-3y-4=0)과도 접해야 합니다.
3. 따라서 원의 중심 (r, -r)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 r과 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 r에 대한 절댓값 방정식이 되며, 풀면 두 개의 r값이 나옵니다.
5. 두 원의 넓이는 각각 πr² 이므로, 두 넓이의 합을 구합니다.
주의할 점:
세 직선에 동시에 접하는 원은 일반적으로 4개가 존재할 수 있습니다. 문제에서 주어진 사분면 조건을 통해 경우의 수를 줄여야 합니다.
”
x,y축과 다른 직선에 동시 접하는 원
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x축과 다른 한 직선에 동시에 접하고, 특정 점을 지나는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a,b)라 하면, x축에 접하므로 반지름은 |b|입니다.
2. 이 원이 점 (3,0)을 지나면서 x축에 접하므로, 이 점이 바로 **접점**이 됩니다. 따라서 중심의 x좌표는 3입니다. 중심은 (3,b)가 되고 반지름은 |b|입니다.
3. 원의 중심 (3,b)와 직선 4x-3y+12=0 사이의 거리 또한 반지름 |b|와 같아야 합니다.
4. 이 조건을 이용해 b에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 모든 b값을 찾습니다.
주의할 점:
주어진 점 (3,0)이 x축 위의 점이므로, 이 점이 접점이 된다는 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 지름길입니다.
”
x축과 다른 직선에 동시 접촉과 접점
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평행한 두 직선에 동시에 접하고, 중심이 다른 직선 위에 있는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 평행한 두 직선에 동시에 접하는 원의 지름은, 두 직선 사이의 거리와 같습니다. **평행한 두 직선 사이의 거리**를 구해 지름과 반지름을 먼저 확정합니다.
2. 원의 중심은 두 평행한 직선의 **정중앙에 위치한 평행선** 위에 있습니다.
3. 원의 중심은 또한, 문제에서 주어진 직선 y=3x 위에도 있습니다.
4. 따라서 원의 중심은 2번과 3번 직선의 교점이 됩니다. 두 직선을 연립하여 중심 좌표를 구합니다.
5. 중심 (a,b)와 반지름의 제곱(c)을 모두 구하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
평행한 두 접선이 주어졌을 때, 원의 지름과 중심의 위치를 바로 파악할 수 있어야 합니다.
”
평행한 두 직선에 동시에 접하는 원
“
원과 직선이 접할 때의 기하학적 성질을 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (f(-5)f(5) 값) 점 A(-5, f(-5))와 B(5, f(5))는 직선 위의 점입니다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 이 성질을 활용하여 보조선을 그어 직각삼각형을 만들고 피타고라스 정리를 적용하면, f(-5)f(5)의 값을 구할 수 있습니다.
2. 이 풀이는 매우 복잡하므로, 다른 해석이 필요합니다. 접선 위의 점(x,y)에서 원점까지의 거리를 d, 접점까지의 거리를 t라 하면 d²=t²-r² 같은 관계가 성립합니다. 이 문제의 핵심은 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다’ 입니다. (해설의 접근법이 더 효율적입니다.)
주의할 점:
해설에서는 접선의 방정식을 y=ax+b로 설정하고, 원점과의 거리가 반지름과 같다는 조건(|b|/√(a²+1) = 5)을 이용해 b²-25a²=25라는 관계를 유도합니다. f(-5)f(5)는 (b-5a)(b+5a) = b²-25a² 이므로 답이 25가 됩니다.
”
접선의 방정식을 이용한 값 추론
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넓이가 최소인 원이 직선과 만날 때의 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 원점이고 직선 y=-2x+k와 만나는 원 중에서 넓이가 최소이려면, 반지름이 최소여야 합니다.
2. 반지름이 최소가 되는 경우는, 원이 직선에 **접할 때**입니다.
3. 이때의 반지름은 **원점과 직선 사이의 거리**와 같습니다.
4. 문제에서 최소 넓이가 45π 라고 주어졌으므로, 반지름의 제곱이 45, 즉 반지름은 3√5 입니다.
5. 원점과 직선 2x+y-k=0 사이의 거리가 3√5 라는 등식을 세워 양수 k값을 구합니다.
주의할 점:
‘만나는 원 중 넓이가 최소’라는 표현을 ‘접하는 원’으로 해석하는 것이 핵심입니다.
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만나는 원 중 넓이가 최소인 원
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두 직선에 동시에 접하는 원의 중심이 다른 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C의 중심 (a,a)와 직선 y=2x (2x-y=0) 사이의 거리가 √5라고 주어졌으므로, 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 a값을 먼저 구합니다.
2. 이제 원의 중심과 반지름(√10)이 모두 확정됩니다.
3. 이 원이 직선 y=kx (kx-y=0)에 접하므로, 원의 중심과 이 직선 사이의 거리가 반지름 √10과 같아야 합니다.
4. 거리 공식을 이용해 k에 대한 이차방정식을 풀고, 조건(0
주의할 점:
주어진 조건들을 순서대로 사용하여 미지수를 하나씩 결정해 나가는 단계적인 풀이가 필요합니다.
”
두 직선에 접하는 원의 미지수
