“
418번 문제와 동일하게, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심(1, a)과 반지름(√20)을 찾습니다.
2. 원의 중심과 직선 2x+y+a=0 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
3. 이 거리가 반지름보다 작다는 부등식을 세웁니다.
4. a에 대한 절댓값 부등식을 풀고, 그 범위에 포함되는 정수의 개수를 셉니다.
주의할 점:
원의 중심과 직선의 방정식에 모두 미지수 a가 포함되어 있습니다. 당황하지 말고 그대로 공식에 대입하여 부등식을 풀면 됩니다.
”
서로 다른 두 점에서 만나는 미지수 범위
“
두 원의 공통접선의 길이를 구하는 문제입니다. 두 원의 중심과 접점을 이용해 보조선을 그어 직각삼각형을 만드는 것이 핵심입니다.
접근법:
1. 두 원의 중심 좌표와 반지름을 각각 구합니다.
2. 작은 원의 중심에서 큰 원의 반지름에 수선을 내리면, 두 원의 중심과 수선의 발을 잇는 직각삼각형이 만들어집니다.
3. 이 직각삼각형의 빗변은 ‘두 원의 중심 사이의 거리’가 됩니다.
4. 높이는 ‘두 원의 반지름의 차’가 됩니다.
5. 피타고라스 정리를 이용해 나머지 한 변의 길이(밑변)를 구하면, 이 길이가 바로 공통접선의 길이와 같습니다.
주의할 점:
공통 외접선 문제는 ‘반지름의 차’를, 공통 내접선 문제는 ‘반지름의 합’을 이용해 직각삼각형을 만듭니다. 그림을 그려서 확인하는 것이 가장 확실합니다.
”
두 원의 공통 외접선의 길이
“
중심이 정해진 원이 직선과 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 넓이가 16π 이므로 반지름의 길이는 4입니다.
2. 원의 중심 (k, 6)과 직선 3x+4y+6=0 사이의 거리가 반지름 4보다 작아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 k의 범위를 찾고, 이 범위에 포함되는 정수의 개수를 셉니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 정보(넓이)를 통해 반지름을 먼저 확정해야 합니다. 이후의 풀이는 418, 419번과 동일합니다.
”
넓이가 주어진 원과 직선의 교점 조건
“
공통 외접선의 길이가 주어졌을 때, 한 원의 반지름을 구하는 문제입니다. 404번 문제의 역산 과정입니다.
접근법:
1. 두 원의 중심과 반지름 정보를 정리합니다. (한쪽 반지름은 미지수 r)
2. 404번과 같이, 보조선을 그어 직각삼각형을 만듭니다.
3. 빗변은 ‘두 중심 사이의 거리’, 높이는 ‘반지름의 차’, 밑변은 ‘공통접선의 길이(주어짐)’가 됩니다.
4. 피타고라스 정리에 이 값들을 대입하여 r에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
공통접선 길이를 구하는 문제의 핵심이 ‘보조선을 이용한 직각삼각형 만들기’에 있음을 이해하고, 이를 역으로 적용할 수 있어야 합니다.
”
공통 외접선 길이로 반지름 구하기
“
원과 직선의 두 교점과 원의 중심으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC에서 변 AB를 밑변으로 생각합니다. 밑변의 길이는 원과 직선이 만나는 현의 길이입니다.
2. 387번 문제와 동일한 방법으로 현 AB의 길이를 구합니다.
3. 삼각형의 높이는 원의 중심 C에서 현 AB(직선)까지의 거리입니다. 이 거리는 현의 길이를 구하는 과정에서 이미 계산됩니다.
4. 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이 CH) 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
이 삼각형은 반지름을 두 변으로 하는 이등변삼각형입니다. 현의 길이를 구하는 과정 자체가 삼각형의 넓이를 구하는 과정과 거의 동일합니다.
”
교점과 중심으로 만든 삼각형의 넓이
“
삼각형의 넓이가 주어졌을 때, 원의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다. 390번의 역산 과정입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C의 좌표를 구합니다. 중심과 직선 사이의 거리 d를 계산합니다.
2. 삼각형의 높이는 이 거리 d와 같습니다.
3. 삼각형의 넓이가 주어졌으므로, 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이 d) 공식을 이용해 밑변 AB(현의 길이)를 구할 수 있습니다.
4. 이제 현의 길이의 절반과 거리 d, 그리고 반지름 r 사이의 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 을 이용합니다.
5. 반지름 r의 제곱은 표준형 변환 과정에서 미지수 k를 포함한 식이므로, 이 등식을 통해 k값을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
넓이 -> 밑변(현) 길이 -> 피타고라스 정리 -> 반지름 -> 미지수 순서로 역추적해나가는 문제입니다.
”
삼각형 넓이가 주어졌을 때 미지수
“
두 원의 교점을 지름의 양 끝점으로 하는, 즉 공통현을 지름으로 하는 원의 넓이를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 이는 ‘두 원의 교점을 지나는 원 중 넓이가 최소인 원’을 찾는 384번 문제와 동일합니다.
2. 목표는 공통현의 길이를 구하는 것입니다.
3. (1) 공통현 방정식 구하기 (두 원의 방정식을 뺀다)
4. (2) 한 원의 중심에서 공통현까지 거리 d 구하기
5. (3) 피타고라스 정리를 이용해 공통현 길이의 절반, 즉 새로운 원의 반지름을 구한다.
6. 구한 반지름으로 원의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
최소 넓이 원의 반지름은 공통현 길이의 ‘절반’이라는 점을 잊지 말아야 합니다.
”
공통현을 지름으로 하는 원의 넓이
“
원과 직선의 교점으로 만들어지는 삼각형이 정삼각형이 될 때, 직선의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 CPQ가 정삼각형이므로, 세 변의 길이는 모두 원의 반지름 r과 같습니다. 즉, 현 PQ의 길이가 반지름 r과 같습니다.
2. 원의 중심 C와 현 PQ 사이의 거리 d, 현 길이의 절반(r/2), 그리고 반지름 r은 직각삼각형을 이룹니다.
3. 피타고라스 정리를 이용해 d² + (r/2)² = r² 에서, 거리 d를 반지름 r로 표현할 수 있습니다. (d = (√3/2)r)
4. 원의 중심 C와 직선 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
5. 3단계와 4단계에서 구한 두 거리 값이 같다고 등식을 세워 미지수 m을 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 기하학적 성질을 이용해 ‘중심과 현 사이의 거리’를 반지름에 대한 식으로 나타내는 것이 핵심입니다.
”
교점으로 만든 정삼각형의 조건
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원과 직선이 만나 생기는 현의 길이가 주어졌을 때, 원의 반지름을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 현 AB의 길이가 2√2 이므로, 현의 길이의 절반은 √2 입니다.
2. 원의 중심 C(2,3)와 직선 y=x+5 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 피타고라스 정리 **(현의 길이/2)² + d² = r²** 에 구한 값들을 대입합니다.
4. 이 방정식을 풀면 반지름의 제곱(r²)을 구할 수 있고, 양수 r값을 찾습니다.
주의할 점:
387번 현의 길이 구하기 문제에서 구해야 할 미지수만 바뀐 형태입니다. 피타고라스 정리를 이용한 세 요소(반지름, 중심과 현 사이 거리, 현 길이의 절반) 사이의 관계가 핵심입니다.
”
현의 길이가 주어질 때 반지름 구하기
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원과 직선의 현의 길이가 주어졌을 때, 원의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 원의 중심 C와 주어진 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 현 AB의 길이가 4이므로, 현의 길이의 절반은 2입니다.
4. 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 에 모든 값을 대입하면 k에 대한 간단한 방정식을 얻을 수 있습니다.
주의할 점:
394번 문제와 거의 동일한 구조입니다. 미지수가 반지름에 포함되어 있을 뿐, 풀이 원리는 같습니다.
”
현의 길이와 원의 미정계수
