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x축과 다른 한 직선에 동시에 접하고, 특정 점을 지나는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a,b)라 하면, x축에 접하므로 반지름은 |b|입니다.
2. 이 원이 점 (3,0)을 지나면서 x축에 접하므로, 이 점이 바로 **접점**이 됩니다. 따라서 중심의 x좌표는 3입니다. 중심은 (3,b)가 되고 반지름은 |b|입니다.
3. 원의 중심 (3,b)와 직선 4x-3y+12=0 사이의 거리 또한 반지름 |b|와 같아야 합니다.
4. 이 조건을 이용해 b에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 모든 b값을 찾습니다.
주의할 점:
주어진 점 (3,0)이 x축 위의 점이므로, 이 점이 접점이 된다는 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 지름길입니다.
”
x축과 다른 직선에 동시 접촉과 접점
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평행한 두 직선에 동시에 접하고, 중심이 다른 직선 위에 있는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 평행한 두 직선에 동시에 접하는 원의 지름은, 두 직선 사이의 거리와 같습니다. **평행한 두 직선 사이의 거리**를 구해 지름과 반지름을 먼저 확정합니다.
2. 원의 중심은 두 평행한 직선의 **정중앙에 위치한 평행선** 위에 있습니다.
3. 원의 중심은 또한, 문제에서 주어진 직선 y=3x 위에도 있습니다.
4. 따라서 원의 중심은 2번과 3번 직선의 교점이 됩니다. 두 직선을 연립하여 중심 좌표를 구합니다.
5. 중심 (a,b)와 반지름의 제곱(c)을 모두 구하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
평행한 두 접선이 주어졌을 때, 원의 지름과 중심의 위치를 바로 파악할 수 있어야 합니다.
”
평행한 두 직선에 동시에 접하는 원
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원과 직선이 접할 때의 기하학적 성질을 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (f(-5)f(5) 값) 점 A(-5, f(-5))와 B(5, f(5))는 직선 위의 점입니다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 이 성질을 활용하여 보조선을 그어 직각삼각형을 만들고 피타고라스 정리를 적용하면, f(-5)f(5)의 값을 구할 수 있습니다.
2. 이 풀이는 매우 복잡하므로, 다른 해석이 필요합니다. 접선 위의 점(x,y)에서 원점까지의 거리를 d, 접점까지의 거리를 t라 하면 d²=t²-r² 같은 관계가 성립합니다. 이 문제의 핵심은 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다’ 입니다. (해설의 접근법이 더 효율적입니다.)
주의할 점:
해설에서는 접선의 방정식을 y=ax+b로 설정하고, 원점과의 거리가 반지름과 같다는 조건(|b|/√(a²+1) = 5)을 이용해 b²-25a²=25라는 관계를 유도합니다. f(-5)f(5)는 (b-5a)(b+5a) = b²-25a² 이므로 답이 25가 됩니다.
”
접선의 방정식을 이용한 값 추론
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넓이가 최소인 원이 직선과 만날 때의 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 원점이고 직선 y=-2x+k와 만나는 원 중에서 넓이가 최소이려면, 반지름이 최소여야 합니다.
2. 반지름이 최소가 되는 경우는, 원이 직선에 **접할 때**입니다.
3. 이때의 반지름은 **원점과 직선 사이의 거리**와 같습니다.
4. 문제에서 최소 넓이가 45π 라고 주어졌으므로, 반지름의 제곱이 45, 즉 반지름은 3√5 입니다.
5. 원점과 직선 2x+y-k=0 사이의 거리가 3√5 라는 등식을 세워 양수 k값을 구합니다.
주의할 점:
‘만나는 원 중 넓이가 최소’라는 표현을 ‘접하는 원’으로 해석하는 것이 핵심입니다.
”
만나는 원 중 넓이가 최소인 원
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두 원의 공통현의 중점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 공통현의 중점은 (1)공통현(직선) 위에 있고, (2)두 원의 중심을 잇는 직선 위에도 있습니다.
2. 따라서 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다.
3. 두 원의 중심 좌표를 각각 구하고, 이 두 중심을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 직선의 방정식을 연립하여 교점을 찾으면, 그 점이 바로 공통현의 중점입니다.
주의할 점:
공통현의 중점이 두 원의 중심을 잇는 선분 위에 있다는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
두 원의 공통현의 중점 좌표
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원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 길이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
2. 원 밖의 점 A와 원의 중심 C를 잇는 선분 AC의 길이를 구합니다. 이 선분이 직각삼각형의 빗변이 됩니다.
3. 접점 P, 중심 C, 원 밖의 점 A는 직각삼각형을 이룹니다. (각 C P A = 90°)
4. **피타고라스 정리 (AP² + CP² = AC²)** 를 이용해 접선의 길이 AP를 구합니다.
주의할 점:
(원 밖의 점-중심 거리)² = (반지름)² + (접선 길이)² 라는 관계를 명확히 인지하고 있어야 합니다.
”
원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이
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두 원의 공통현을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (밑변) 먼저 두 원의 공통현 AB의 길이를 구합니다. (381번 문제 참고)
2. (높이) 삼각형 O’AB의 높이는 원 C₂의 중심 O’에서 공통현 AB까지의 거리입니다. 이 거리는 공통현 길이를 구하는 과정에서 이미 계산됩니다.
3. (넓이) 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
공통현의 길이를 구하는 과정에서 필요한 모든 요소(밑변의 절반, 높이)가 삼각형 넓이를 구하는 데 그대로 사용됩니다.
”
공통현을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 관련된 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 사각형 PACB는 두 개의 합동인 직각삼각형(PAC와 PBC)으로 이루어져 있습니다.
2. 따라서 **직각삼각형 PAC의 넓이를 구해 2배** 하면 됩니다.
3. 직각삼각형 PAC의 넓이를 구하기 위해, 밑변(접선 AP)과 높이(반지름 AC)의 길이가 필요합니다.
4. 398번 문제와 동일한 방법으로 피타고라스 정리를 이용해 접선의 길이 AP를 먼저 구합니다.
5. 삼각형의 넓이 = 1/2 * AP * AC 를 계산하고, 2를 곱하여 사각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 항상 같다는 성질을 이용하면, 두 삼각형이 합동임을 쉽게 알 수 있습니다.
”
접선과 반지름으로 만든 사각형의 넓이
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두 원의 교점을 지나는 원 중에서 넓이가 최소인 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점을 지나는 무수히 많은 원들 중에서 넓이가 최소가 되는 원은, 두 교점을 잇는 공통현을 지름으로 하는 원입니다.
2. 따라서, 이 문제의 목표는 **공통현의 길이**를 구하는 것입니다.
3. 381번 문제와 동일한 방법으로 공통현의 길이를 구합니다. 이 길이가 새로운 원의 지름이 됩니다.
4. 지름을 이용해 반지름을 구하고, 최소 원의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
‘넓이가 최소인 원’이라는 표현이 ‘공통현을 지름으로 하는 원’을 의미한다는 것을 반드시 기억해야 합니다.
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교점을 지나는 원 중 넓이가 최소인 원
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원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이가 주어졌을 때, 점의 좌표에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 398번 문제의 역순으로 진행합니다.
2. 원의 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
3. 직각삼각형 PCQ에서, 접선의 길이 PQ(주어짐)와 반지름 CQ(r)를 알고 있으므로, 피타고라스 정리를 이용해 빗변 PC의 길이를 구할 수 있습니다.
4. 빗변 PC의 길이는 원 밖의 점 P(-2,a)와 중심 C 사이의 거리와도 같습니다. 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 PC의 길이를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 3단계와 4단계에서 구한 두 PC의 길이가 같다고 등식을 세워 a에 대한 이차방정식을 풉니다.
주의할 점:
접선의 길이를 구하는 피타고라스 정리 관계를 역으로 활용하는 문제입니다. 최댓값, 최솟값을 묻고 있으므로 두 개의 해를 모두 고려해야 합니다.
”
접선의 길이가 주어졌을 때 점의 좌표
