“
대칭차집합의 원소 합이 주어졌을 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. S(A△B) = S(A∪B) – S(A∩B) 또는 S(A-B) + S(B-A) 입니다.
2. S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B) 이므로, **S(A△B) = S(A) + S(B) – 2*S(A∩B)** 입니다.
3. 집합 A, B의 원소 합을 각각 구합니다. S(A)=15, S(B)=14+a.
4. A∩B = {4, 5} 이므로, S(A∩B) = 9 입니다.
5. 2번 공식에 모든 값을 대입하여 12 = 15 + (14+a) – 2*9 라는 방정식을 풉니다.
6. a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭차집합의 원소 합에 대한 공식 S(A△B) = S(A) + S(B) – 2*S(A∩B)를 알고 있으면 계산이 매우 편리합니다.
”
주어진 연산과 동치인 표현 찾기
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 A ∪ (A∩B)ᶜ = U 를 간단히 합니다.
2. A ∪ (Aᶜ∪Bᶜ) = U (드모르간)
3. (A∪Aᶜ) ∪ Bᶜ = U ∪ Bᶜ = U
4. 즉, U ∪ Bᶜ = U 가 됩니다. 이 식이 성립하려면 Bᶜ이 U의 부분집합이기만 하면 되므로, 이 식은 항상 성립하는 항등식입니다.
5. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A-B=∅, 즉 A⊂B를 유도함)
주의할 점:
해설 기준: 주어진 식을 변형하여 A-B=∅를 이끌어내고, A⊂B와 동치인 보기를 찾는 문제입니다.
”
주어진 관계가 서로소임을 의미할 때
“
벤 다이어그램을 보고, 주어진 집합 연산이 나타내는 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 연산을 단계별로 벤 다이어그램에 표현해봅니다.
2. (A-B): A에만 속하는 초승달 모양 영역.
3. (B-C): B에만 속하는 초승달 모양 영역.
4. **(A-B) ∩ (B-C)**: 두 영역의 공통부분을 찾습니다. 이 문제에서는 공통부분이 없습니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 (A-B)∪(B-C)를 나타냄)
5. 해설 기준: (A-B)∪(B-C)는 A에만 속하는 부분과 B에만 속하는 부분을 합친 영역입니다. 이와 일치하는 그림을 찾습니다.
주의할 점:
문제에서 교집합(∩)을 묻는지 합집합(∪)을 묻는지 기호를 명확히 확인해야 합니다. 벤 다이어그램을 단계적으로 그려보면 복잡한 연산도 시각적으로 쉽게 파악할 수 있습니다.
”
주어진 연산이 나타내는 벤 다이어그램 찾기
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계(A⊂B)와 동치인 표현을 모두 고르는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B와 동치인 표현들을 모두 암기하고 있어야 합니다.
– A∩B = A
– A∪B = B
– A-B = ∅
– Bᶜ ⊂ Aᶜ
– A∩Bᶜ = ∅
2. 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이 이 표현들과 일치하는지 확인합니다. (ㄱ, ㄷ, ㄹ은 직접적인 동치 표현, ㄴ은 틀린 표현)
주의할 점:
집합의 포함 관계를 나타내는 여러 동치 표현은 매우 중요하므로 반드시 암기해야 합니다.
”
배수 집합의 교집합과 합집합의 성질
“
주어진 집합 연산과 동치인, 즉 같은 의미를 갖는 다른 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A∩(A∩B)ᶜ 을 연산 법칙을 이용해 간단히 합니다.
– A ∩ (Aᶜ∪Bᶜ) (드모르간)
– (A∩Aᶜ) ∪ (A∩Bᶜ) (분배법칙)
– ∅ ∪ (A∩Bᶜ) = A∩Bᶜ = **A-B**
2. 따라서 주어진 식은 A-B와 같습니다.
3. 각 보기의 식을 간단히 하여 A-B와 같아지는 것을 찾습니다.
주의할 점:
집합의 연산 법칙을 능숙하게 사용하여 식을 간단히 만드는 능력이 필요합니다. 벤 다이어그램을 그려서 확인하는 것도 좋은 방법입니다.
”
새로운 연산의 결과 찾기
“
주어진 집합 연산이 나타내는 벤 다이어그램 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 [ (A∩B) ∪ (A-B) ] ∩ B 를 간단히 합니다.
2. 괄호 안의 (A∩B) ∪ (A-B)는 집합 A와 같습니다.
3. 따라서 식은 A ∩ B 가 됩니다.
4. A와 B의 교집합 영역을 나타내는 벤 다이어그램을 찾습니다.
주의할 점:
복잡해 보이는 식의 각 부분을 먼저 간단히 한 후 전체를 계산하는 것이 효율적입니다.
”
주어진 연산과 동치인 표현 찾기
“
새로운 연산(◇)이 정의되었을 때, 그 결과를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 연산 X◇Y = Xᶜ∪Y 의 정의에 따라 주어진 식을 단계적으로 계산합니다.
2. (A◇B) = Aᶜ∪B
3. (A◇B)◇A = (Aᶜ∪B)◇A = (Aᶜ∪B)ᶜ ∪ A
4. 드모르간 법칙과 분배법칙을 이용해 식을 간단히 합니다.
– (A∩Bᶜ) ∪ A
– (A∪A) ∩ (Bᶜ∪A) = A ∩ (A∪Bᶜ)
– A (흡수법칙)
5. 벤 다이어그램을 그려서 영역을 확인하는 것이 더 직관적일 수 있습니다.
주의할 점:
새로운 연산이 정의되면, 그 정의에 충실하게 문자를 치환하여 계산하면 됩니다.
”
대칭차집합을 나타내는 벤 다이어그램 찾기
“
주어진 집합 연산과 동치인 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (Aᶜ∪B) – A 를 간단히 합니다.
– (Aᶜ∪B) ∩ Aᶜ
– (Aᶜ∩Aᶜ) ∪ (B∩Aᶜ) = Aᶜ ∪ (B-A)
2. 벤 다이어그램을 그려보면, A의 바깥 부분과 B에만 속하는 부분을 합친 영역입니다.
3. 각 보기의 식을 간단히 하거나 벤 다이어그램으로 그려서 2번의 영역과 일치하는 것을 찾습니다.
– ⑤ (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ. 벤 다이어그램을 그려보면 두 영역이 다릅니다. (해설에서는 ⑤가 답이므로 문제나 해설에 오류가 있을 수 있음)
주의할 점:
복잡한 집합 연산의 동치 관계를 찾을 때는, 벤 다이어그램을 이용하는 것이 실수를 줄이는 가장 확실한 방법입니다.
”
세 집합의 복잡한 연산과 벤 다이어그램
“
주어진 집합 연산이 나타내는 영역을 벤 다이어그램으로 표현하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 괄호 안의 연산을 먼저 계산하여 영역을 파악합니다.
– (A∪B) – B = A – B (A에만 속하는 영역)
– B – (A∩B) = B – A (B에만 속하는 영역)
2. 두 결과의 합집합을 구합니다: (A-B) ∪ (B-A)
3. 이는 **대칭차집합**을 의미합니다. 대칭차집합 영역이 색칠된 그림을 찾습니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 연산이 대칭차집합의 다른 표현임을 파악하는 것이 중요합니다.
”
새로운 연산의 결과 (흡수법칙)
“
세 집합에 대한 복잡한 연산을 벤 다이어그램을 이용하여 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 부분을 단계적으로 벤 다이어그램에 색칠합니다.
– **A∩B**: A와 B의 교집합
– **A∩C**: A와 C의 교집합
– **(A∩B) ∪ (A∩C)**: 두 교집합 영역을 합친 부분
– **B∩C**: B와 C의 교집합
– 최종 연산: [(A∩B)∪(A∩C)] – (B∩C) : 앞서 구한 영역에서 B와 C의 교집합 부분을 제외합니다.
2. 최종적으로 색칠된 영역과 일치하는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
연산 순서에 따라 괄호 안부터 차근차근 영역을 표시해나가야 합니다.
”
주어진 연산이 나타내는 벤 다이어그램 찾기
