“
대칭차집합의 원소 합이 주어졌을 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. S(A△B) = S(A∪B) – S(A∩B) 또는 S(A-B) + S(B-A) 입니다.
2. S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B) 이므로, **S(A△B) = S(A) + S(B) – 2*S(A∩B)** 입니다.
3. 집합 A, B의 원소 합을 각각 구합니다. S(A)=15, S(B)=14+a.
4. A∩B = {4, 5} 이므로, S(A∩B) = 9 입니다.
5. 2번 공식에 모든 값을 대입하여 12 = 15 + (14+a) – 2*9 라는 방정식을 풉니다.
6. a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭차집합의 원소 합에 대한 공식 S(A△B) = S(A) + S(B) – 2*S(A∩B)를 알고 있으면 계산이 매우 편리합니다.
”
주어진 연산과 동치인 표현 찾기
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 A ∪ (A∩B)ᶜ = U 를 간단히 합니다.
2. A ∪ (Aᶜ∪Bᶜ) = U (드모르간)
3. (A∪Aᶜ) ∪ Bᶜ = U ∪ Bᶜ = U
4. 즉, U ∪ Bᶜ = U 가 됩니다. 이 식이 성립하려면 Bᶜ이 U의 부분집합이기만 하면 되므로, 이 식은 항상 성립하는 항등식입니다.
5. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A-B=∅, 즉 A⊂B를 유도함)
주의할 점:
해설 기준: 주어진 식을 변형하여 A-B=∅를 이끌어내고, A⊂B와 동치인 보기를 찾는 문제입니다.
”
주어진 관계가 서로소임을 의미할 때
“
벤 다이어그램을 보고, 주어진 집합 연산이 나타내는 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 연산을 단계별로 벤 다이어그램에 표현해봅니다.
2. (A-B): A에만 속하는 초승달 모양 영역.
3. (B-C): B에만 속하는 초승달 모양 영역.
4. **(A-B) ∩ (B-C)**: 두 영역의 공통부분을 찾습니다. 이 문제에서는 공통부분이 없습니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 (A-B)∪(B-C)를 나타냄)
5. 해설 기준: (A-B)∪(B-C)는 A에만 속하는 부분과 B에만 속하는 부분을 합친 영역입니다. 이와 일치하는 그림을 찾습니다.
주의할 점:
문제에서 교집합(∩)을 묻는지 합집합(∪)을 묻는지 기호를 명확히 확인해야 합니다. 벤 다이어그램을 단계적으로 그려보면 복잡한 연산도 시각적으로 쉽게 파악할 수 있습니다.
”
주어진 연산이 나타내는 벤 다이어그램 찾기
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계(A⊂B)와 동치인 표현을 모두 고르는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B와 동치인 표현들을 모두 암기하고 있어야 합니다.
– A∩B = A
– A∪B = B
– A-B = ∅
– Bᶜ ⊂ Aᶜ
– A∩Bᶜ = ∅
2. 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이 이 표현들과 일치하는지 확인합니다. (ㄱ, ㄷ, ㄹ은 직접적인 동치 표현, ㄴ은 틀린 표현)
주의할 점:
집합의 포함 관계를 나타내는 여러 동치 표현은 매우 중요하므로 반드시 암기해야 합니다.
”
배수 집합의 교집합과 합집합의 성질
“
새로운 연산(☆)을 정의하고, 그 연산의 성질을 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 새로운 연산 A☆B = (A-B)∪(B-A)는 **대칭차집합**의 정의와 같습니다.
2. 대칭차집합은 교환법칙(A☆B = B☆A)과 결합법칙((A☆B)☆C = A☆(B☆C))이 성립합니다.
3. 각 보기의 연산을 대칭차집합의 성질을 이용해 간단히 합니다.
– ① A☆A = (A-A)∪(A-A) = ∅∪∅ = ∅
– ② A☆∅ = (A-∅)∪(∅-A) = A∪∅ = A
– ③ A☆U = (A-U)∪(U-A) = ∅∪Aᶜ = Aᶜ
주의할 점:
새로운 연산이 나오면, 그것이 기존에 알고 있던 연산(교집합, 합집합, 대칭차집합 등)과 어떤 관련이 있는지 먼저 파악하는 것이 중요합니다.
”
새로운 연산의 교환법칙, 결합법칙 확인하기
“
대칭차집합의 성질에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A△B = (A∪B)-(A∩B), B△A = (B∪A)-(B∩A). 합집합과 교집합은 교환법칙이 성립하므로 두 식은 같습니다.
2. (ㄴ) (A△B)△A = ((A∪B)-(A∩B))△A. 벤 다이어그램을 그려보면 이 영역이 B와 같아짐을 확인할 수 있습니다.
3. (ㄷ) A△B = ∅ 이면, (A∪B) = (A∩B) 입니다. 이는 A=B일 때만 성립합니다.
주의할 점:
대칭차집합의 여러 성질들 (A△A=∅, A△∅=A, A△U=Aᶜ, (A△B)△A=B 등)을 암기해두면 문제 풀이 시간을 단축할 수 있습니다.
”
두 집합이 서로소일 때의 성질 찾기
“
새로운 연산(⊙)이 정의되었을 때, 항상 성립하는 법칙을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 연산 A⊙B = (A∪B)ᶜ 을 벤 다이어그램으로 나타내 봅니다. (A와 B 바깥의 모든 영역)
2. 각 보기의 법칙이 성립하는지 확인합니다.
– (교환법칙) A⊙B = (A∪B)ᶜ, B⊙A = (B∪A)ᶜ. 합집합은 교환법칙이 성립하므로, A⊙B = B⊙A 입니다.
– (결합법칙) (A⊙B)⊙C 와 A⊙(B⊙C)를 각각 벤 다이어그램으로 그려보고, 두 영역이 일치하는지 확인합니다. (일반적으로 성립하지 않음)
주의할 점:
새로운 연산의 성질을 파악할 때는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등을 차례대로 점검해보는 것이 좋습니다.
”
주어진 연산이 나타내는 벤 다이어그램 찾기
“
교집합이 공집합인, 즉 **서로소**인 두 집합 사이의 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B=∅ 라는 조건을 만족하는 벤 다이어그램을 그립니다. (두 원이 겹치지 않게)
2. 이 벤 다이어그램을 바탕으로 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
– ① A-B = A
– ② B-A = B
– ③ A ⊂ Bᶜ (A는 B의 바깥 영역에 포함됨)
– ④ A∪B = B는 A=∅일 때만 성립.
– ⑤ Aᶜ ⊃ Bᶜ 은 A⊃B의 대우이므로 틀림.
주의할 점:
A와 B가 서로소일 때 성립하는 여러 동치 표현(A-B=A, A⊂Bᶜ 등)을 숙지하고 있어야 합니다.
”
대칭차집합을 나타내는 다른 표현 찾기
“
주어진 집합 연산이 의미하는 바를 벤 다이어그램으로 옳게 나타낸 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (A∩B) ∪ (A-B) 를 벤 다이어그램으로 표현합니다.
2. (A∩B): A와 B의 공통 영역
3. (A-B): A에만 속하는 영역
4. 두 영역의 합집합은 결국 **집합 A 전체**가 됩니다.
5. 보기 중에서 집합 A 전체가 색칠된 것을 찾습니다.
주의할 점:
이 관계는 집합의 연산 법칙 (A∩B) ∪ (A∩Bᶜ) = A∩(B∪Bᶜ) = A∩U = A 로도 증명할 수 있습니다.
”
주어진 관계를 만족하는 벤 다이어그램 찾기
“
대칭차집합을 나타내는 여러 가지 표현 중 옳은 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 대칭차집합은 (A∪B) – (A∩B) 또는 (A-B)∪(B-A) 입니다.
2. 각 보기의 집합 연산을 간단히 하여 이와 같은 형태가 되는지 확인합니다.
– ㄷ: (A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ) = (A-B) ∪ (B-A) 이므로 대칭차집합이 맞습니다.
– ㄹ: (A∪B) ∩ (A∩B)ᶜ = (A∪B) – (A∩B) 이므로 대칭차집합이 맞습니다.
주의할 점:
대칭차집합을 나타내는 다양한 표현 방식을 익혀두는 것이 중요합니다.
”
주어진 연산이 나타내는 벤 다이어그램 찾기
