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드모르간의 법칙과 여집합의 원소 개수를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. n(Aᶜ∩Bᶜ)는 드모르간의 법칙에 의해 **n((A∪B)ᶜ)** 와 같습니다.
2. n((A∪B)ᶜ) = **n(U) – n(A∪B)** 입니다.
3. 따라서, n(A∪B) = n(U) – n(Aᶜ∩Bᶜ) 공식을 이용해 합집합의 원소 개수를 먼저 구합니다.
4. n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 공식에 알고 있는 값들을 모두 대입하여 n(A∩B)를 구합니다.
주의할 점:
Aᶜ∩Bᶜ (A도 아니고 B도 아닌 것)은 A∪B (A 또는 B)의 여집합이라는 드모르간의 법칙을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
배수 집합의 성질 종합 참/거짓 판별하기
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855번 문제와 동일하게 드모르간의 법칙을 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 문제에서 구하려는 것은 n(A∩B) 입니다.
2. 포함-배제 원리 공식 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)를 이용하려면 n(A∪B)를 알아야 합니다.
3. 주어진 조건 n(Aᶜ∩Bᶜ) = 6 을 이용합니다. n(Aᶜ∩Bᶜ) = n((A∪B)ᶜ) = n(U) – n(A∪B) 입니다.
4. 40 – n(A∪B) = 6 이므로, n(A∪B) = 34 입니다.
5. 이제 포함-배제 원리 공식에 모든 값을 대입하여 n(A∩B)를 구합니다.
주의할 점:
주어진 조건들을 어떻게 조합해야 구하려는 값을 찾을 수 있는지, 공식들 사이의 관계를 파악하는 것이 중요합니다.
”
교집합 원소 개수의 최댓값과 최솟값 구하기
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주어진 집합 연산이 서로소 관계(A∩B=∅)를 의미함을 파악하고, 이와 동치인 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (A∪B) – (A-B) = B 라는 식을 간단히 합니다.
– (A∪B) ∩ (A∩Bᶜ)ᶜ = B
– (A∪B) ∩ (Aᶜ∪B) = B
– (A∩Aᶜ) ∪ B = B, 즉 ∅∪B = B. 이는 항등식입니다.
2. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A∩B=∅를 유도함)
3. 해설 기준: 주어진 식을 변형하여 A∩B=∅를 이끌어내고, A와 B가 서로소일 때 항상 성립하는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
주어진 식이 복잡할수록, 연산 법칙을 이용해 간단히 하거나 벤 다이어그램을 그려서 그 의미를 먼저 파악해야 합니다.
”
약수 집합의 교집합과 합집합의 성질
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차집합의 원소 개수를 이용하여 합집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. n(A∪B) = n(A-B) + n(B-A) + n(A∩B) 라는 공식을 이용하는 것이 가장 효율적입니다.
2. 문제에 n(A-B), n(B-A), n(A∩B) 값이 모두 주어졌습니다.
3. 세 값을 그대로 더하기만 하면 n(A∪B)를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 상상하면 합집합이 세 개의 서로소인 영역(A-B, B-A, A∩B)으로 구성됨을 쉽게 알 수 있습니다. 이 관계를 이용한 공식은 매우 유용합니다.
”
교집합 원소 개수의 최대/최소 공식 적용하기
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주어진 집합 연산이 나타내는 벤 다이어그램 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 [ (A∩B) ∪ (A-B) ] ∩ B 를 간단히 합니다.
2. 괄호 안의 (A∩B) ∪ (A-B)는 집합 A와 같습니다.
3. 따라서 식은 A ∩ B 가 됩니다.
4. A와 B의 교집합 영역을 나타내는 벤 다이어그램을 찾습니다.
주의할 점:
복잡해 보이는 식의 각 부분을 먼저 간단히 한 후 전체를 계산하는 것이 효율적입니다.
”
주어진 연산과 동치인 표현 찾기
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새로운 연산(◇)이 정의되었을 때, 그 결과를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 연산 X◇Y = Xᶜ∪Y 의 정의에 따라 주어진 식을 단계적으로 계산합니다.
2. (A◇B) = Aᶜ∪B
3. (A◇B)◇A = (Aᶜ∪B)◇A = (Aᶜ∪B)ᶜ ∪ A
4. 드모르간 법칙과 분배법칙을 이용해 식을 간단히 합니다.
– (A∩Bᶜ) ∪ A
– (A∪A) ∩ (Bᶜ∪A) = A ∩ (A∪Bᶜ)
– A (흡수법칙)
5. 벤 다이어그램을 그려서 영역을 확인하는 것이 더 직관적일 수 있습니다.
주의할 점:
새로운 연산이 정의되면, 그 정의에 충실하게 문자를 치환하여 계산하면 됩니다.
”
대칭차집합을 나타내는 벤 다이어그램 찾기
“
주어진 집합 연산과 동치인 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (Aᶜ∪B) – A 를 간단히 합니다.
– (Aᶜ∪B) ∩ Aᶜ
– (Aᶜ∩Aᶜ) ∪ (B∩Aᶜ) = Aᶜ ∪ (B-A)
2. 벤 다이어그램을 그려보면, A의 바깥 부분과 B에만 속하는 부분을 합친 영역입니다.
3. 각 보기의 식을 간단히 하거나 벤 다이어그램으로 그려서 2번의 영역과 일치하는 것을 찾습니다.
– ⑤ (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ. 벤 다이어그램을 그려보면 두 영역이 다릅니다. (해설에서는 ⑤가 답이므로 문제나 해설에 오류가 있을 수 있음)
주의할 점:
복잡한 집합 연산의 동치 관계를 찾을 때는, 벤 다이어그램을 이용하는 것이 실수를 줄이는 가장 확실한 방법입니다.
”
세 집합의 복잡한 연산과 벤 다이어그램
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주어진 집합 연산이 나타내는 영역을 벤 다이어그램으로 표현하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 괄호 안의 연산을 먼저 계산하여 영역을 파악합니다.
– (A∪B) – B = A – B (A에만 속하는 영역)
– B – (A∩B) = B – A (B에만 속하는 영역)
2. 두 결과의 합집합을 구합니다: (A-B) ∪ (B-A)
3. 이는 **대칭차집합**을 의미합니다. 대칭차집합 영역이 색칠된 그림을 찾습니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 연산이 대칭차집합의 다른 표현임을 파악하는 것이 중요합니다.
”
새로운 연산의 결과 (흡수법칙)
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세 집합에 대한 복잡한 연산을 벤 다이어그램을 이용하여 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 부분을 단계적으로 벤 다이어그램에 색칠합니다.
– **A∩B**: A와 B의 교집합
– **A∩C**: A와 C의 교집합
– **(A∩B) ∪ (A∩C)**: 두 교집합 영역을 합친 부분
– **B∩C**: B와 C의 교집합
– 최종 연산: [(A∩B)∪(A∩C)] – (B∩C) : 앞서 구한 영역에서 B와 C의 교집합 부분을 제외합니다.
2. 최종적으로 색칠된 영역과 일치하는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
연산 순서에 따라 괄호 안부터 차근차근 영역을 표시해나가야 합니다.
”
주어진 연산이 나타내는 벤 다이어그램 찾기
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새로운 연산(※)의 결과를 벤 다이어그램으로 나타내는 문제입니다.
접근법:
1. A※B = (A∪B)∩B = B 입니다. (흡수법칙)
2. B※A = (B∪A)∩A = A 입니다.
3. 따라서, (A※B) – (B※A) = B – A 입니다.
4. B-A는 B에만 속하고 A에는 속하지 않는 영역입니다. 이 영역이 색칠된 그림을 찾습니다.
주의할 점:
새로운 연산의 정의를 먼저 간단히 할 수 있는지 확인해야 합니다. 이 문제에서는 흡수법칙에 의해 연산이 매우 단순해집니다.
”
차집합과 결합된 복잡한 연산의 동치 관계
