“
배수 집합과 약수 집합의 성질을 종합적으로 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: Aₙ은 n의 배수 집합입니다. A₂∩A₃는 2와 3의 공배수, 즉 6의 배수 집합(A₆)입니다. 따라서 A₆ ⊂ Aₖ 이려면, k는 6의 약수여야 합니다.
2. (나) 조건: Bₙ은 n의 약수 집합입니다. B₁₂∩B₁₈은 12와 18의 공약수, 즉 최대공약수 6의 약수 집합(B₆)입니다. B₆ ∪ Bₖ = B₆ 이려면, Bₖ ⊂ B₆ 이어야 합니다. 이는 k가 6의 약수임을 의미합니다.
3. 두 조건을 모두 만족하는 k는 6의 약수입니다.
주의할 점:
배수 집합에서는 숫자가 작을수록 큰 집합이고(A₂⊃A₄), 약수 집합에서는 숫자가 클수록 큰 집합(B₄⊂B₈)이 되는 경향이 있음을 유의해야 합니다.
”
전체집합과 두집합의 원소중 전체 또는 일부를 포함하는 집합
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두 집합이 서로소(A∩B=∅)일 때, 원소 개수에 대한 설명의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B=∅를 만족하는 벤 다이어그램(두 원이 겹치지 않음)을 그립니다.
2. 이 벤 다이어그램을 보면서 각 보기의 식이 항상 성립하는지 확인합니다.
– ① n(A-B) = n(A) – n(A∩B) = n(A) – 0 = n(A)
– ② n(B-A) = n(B)
– ③ n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) = n(A)+n(B)
– ④ n(A) ≤ n(Bᶜ) : A는 B의 여집합에 포함되므로(A⊂Bᶜ), n(A)≤n(Bᶜ) 입니다.
– ⑤ n(A)+n(B)=n(U)는 A∪B=U일 때만 성립하므로 항상 옳지는 않습니다.
주의할 점:
서로소 관계일 때 성립하는 원소 개수 관계식(n(A∩B)=0, n(A∪B)=n(A)+n(B), n(A-B)=n(A))을 명확히 이해해야 합니다.
”
합집합 여집합의 최대/최소 (어느 것도 아닌 경우)
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배수 집합의 합집합과 분배법칙을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (A₄∪A₆) ∩ (A₃∪A₁₂)를 분배법칙을 이용해 전개할 수 있으나, 더 복잡해집니다.
2. 각 괄호 안의 포함 관계를 먼저 확인합니다.
– A₆ ⊂ A₃ 이므로, A₃∪A₆ = A₃ 입니다.
– A₁₂ ⊂ A₄ 이므로, A₄∪A₁₂ = A₄ 입니다.
3. 따라서 주어진 식은 A₄ ∩ A₃ 로 간단해집니다.
4. 4와 3의 공배수는 12의 배수와 같으므로, A₄∩A₃ = A₁₂ 입니다. n=12.
주의할 점:
합집합을 계산하기 전에, 두 배수 집합 사이에 포함 관계가 성립하는지(한 수가 다른 수의 약수인지) 먼저 확인하면 식을 간단히 할 수 있습니다.
”
원소가 미지수로 이루어진 집합과 두 집합의 원소 일부 또는 전체를 포함하는 집합
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배수 집합의 합집합과 분배법칙을 이용하는 문제입니다. 845번과 유사합니다.
접근법:
1. (A₂∪A₄) ∩ (A₃∪A₆) 을 계산합니다.
2. A₄ ⊂ A₂ 이므로, A₂∪A₄ = A₂ 입니다.
3. A₆ ⊂ A₃ 이므로, A₃∪A₆ = A₃ 입니다.
4. 따라서 주어진 식은 A₂ ∩ A₃ 입니다.
5. 2와 3의 공배수는 6의 배수이므로, A₂∩A₃ = A₆ 입니다.
6. A₆의 원소 중 100 이하의 자연수의 개수를 셉니다. (100 ÷ 6)
주의할 점:
두 집합의 포함 관계를 이용하면 복잡한 분배법칙 없이도 식을 간단하게 만들 수 있습니다.
”
배수 집합의 합집합과 교집합 포함 관계 이해하기
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새로운 연산(※)의 결과를 벤 다이어그램으로 나타내는 문제입니다.
접근법:
1. A※B = (A∪B)∩B = B 입니다. (흡수법칙)
2. B※A = (B∪A)∩A = A 입니다.
3. 따라서, (A※B) – (B※A) = B – A 입니다.
4. B-A는 B에만 속하고 A에는 속하지 않는 영역입니다. 이 영역이 색칠된 그림을 찾습니다.
주의할 점:
새로운 연산의 정의를 먼저 간단히 할 수 있는지 확인해야 합니다. 이 문제에서는 흡수법칙에 의해 연산이 매우 단순해집니다.
”
차집합과 결합된 복잡한 연산의 동치 관계
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주어진 집합 연산이 나타내는 벤 다이어그램 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (B-A)ᶜ ∩ A 를 간단히 합니다.
2. (B-A)ᶜ = (B∩Aᶜ)ᶜ = Bᶜ∪A (드모르간 법칙)
3. (Bᶜ∪A) ∩ A = A 입니다. (흡수법칙)
4. 따라서 주어진 식은 **집합 A** 전체를 의미합니다. A 영역이 색칠된 그림을 찾습니다.
주의할 점:
흡수법칙 (X∪Y)∩X = X, (X∩Y)∪X = X는 복잡한 식을 간단히 하는 데 매우 유용하게 사용됩니다.
”
두 명제의 참/거짓과 집합의 관계
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주어진 집합 연산과 동치인 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A-(B-C) = A – (B∩Cᶜ) = A ∩ (B∩Cᶜ)ᶜ = A ∩ (Bᶜ∪C)
2. = (A∩Bᶜ) ∪ (A∩C) = **(A-B) ∪ (A∩C)**
3. 이 결과가 보기 ④와 일치합니다.
4. 다른 보기들도 연산 법칙을 이용하거나 벤 다이어그램을 그려 일치 여부를 확인합니다.
주의할 점:
차집합을 교집합과 여집합으로 바꾸는 것부터 시작하여, 분배법칙을 이용해 전개하는 것이 정석적인 풀이법입니다.
”
대칭차집합의 성질 참/거짓 판별하기
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주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. A-(A-B) = A∩B 입니다. (807번 참고)
2. B-(B-A) = B∩A = A∩B 입니다.
3. 따라서 주어진 식은 (A∩B) ⊂ (A∩B) 가 되어 항상 성립하는 항등식입니다.
4. 이 식만으로는 A와 B 사이에 어떤 특별한 관계가 있는지 알 수 없습니다. 따라서 ‘항상 옳은’ 것을 찾아야 합니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A=B를 유도함)
주의할 점:
만약 문제가 (A-B) ⊂ (B-A) 이었다면, A-B=∅ 이 되어 A⊂B 라는 결론을 얻을 수 있습니다. 문제의 조건을 정확히 확인해야 합니다.
”
대칭차집합의 연산 성질 이해하기
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대칭차집합과 관련된 연산 문제입니다.
접근법:
1. (A△B)△A = B 라는 성질을 이용합니다. (810번 참고)
2. (ㄱ) (A△B)△B = A 이므로 참입니다.
3. (ㄴ) (A△B)△C 와 A△(B△C)는 같습니다 (결합법칙 성립).
4. (ㄷ) A△B = A∪B 이려면, A∩B=∅ 이어야 합니다. 즉, 두 집합은 서로소입니다.
주의할 점:
대칭차집합의 여러 연산 성질들을 암기하고 있으면, 복잡한 증명 과정 없이도 빠르게 참/거짓을 판별할 수 있습니다.
”
두 집합이 서로소일 때의 포함 관계
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835번 문제와 동일하게, 대칭차집합의 성질에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. A△U = (A-U)∪(U-A) = ∅∪Aᶜ = Aᶜ 입니다.
2. 따라서 (A△U)△A = Aᶜ△A = (Aᶜ-A)∪(A-Aᶜ) = Aᶜ∪A = U 입니다.
3. 이와 같은 방식으로 각 보기의 연산을 수행하여 결과가 옳은지 확인합니다.
주의할 점:
대칭차집합 연산에 전체집합(U)이나 공집합(∅)이 포함될 경우, 그 결과가 어떻게 되는지(A△∅=A, A△U=Aᶜ 등)를 정확히 알고 있어야 합니다.
”
집합의 포함 관계와 동치인 조건 찾기
