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‘모든’과 ‘어떤’을 포함하는 명제와 그 부정의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (명제) ‘모든 실수 x에 대하여 x²≥0 이다.’ → 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 **참**입니다.
2. (부정) 명제의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x²
주의할 점:
원래 명제가 참이면 그 부정은 항상 거짓이고, 원래 명제가 거짓이면 그 부정은 항상 참입니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제와 그 부정의 참/거짓 판별
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네 조건 사이의 관계를 통해 필요충분조건을 찾는, 삼단논법의 응용 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건들을 화살표(→)로 표현하고, 그 대우도 함께 적습니다.
– p → q
– r → s
– ~q → ~r (대우: r → q)
– ~p → s (대우: ~s → p)
2. 삼단논법으로 모든 연결 관계를 찾습니다.
– r → q 이고 q의 대우가 없으므로… (오류, ~q → ~r의 대우는 r→q가 아니라 r→q의 대우가 ~q→~r임. 재해석 필요)
– 해설 기준: r→q (주어짐), p→q (주어짐), r→s (주어짐), ~s→p (주어짐).
– **p → q ↔ r → s** 와 같은 연결고리를 찾아야 합니다. p → r → q → p 와 같은 순환 구조가 생기면 필요충분조건이 됩니다.
주의할 점:
복잡한 관계 속에서 p, q, r, s가 순환하는 연결고리를 찾으면, 그 안에 있는 모든 조건들은 서로에게 필요충분조건이 될 수 있습니다.
”
삼단논법을 이용한 필요충분조건 찾기
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937번 문제와 동일하게 삼단논법과 대우를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제와 그 대우를 나열합니다.
– ~p → q ⇒ ~q → p
– r → ~q ⇒ q → ~r
2. 삼단논법으로 새로운 명제를 만듭니다.
– (~p → q) 이고 (q → ~r) 이므로, **~p → ~r** 입니다. (이것의 대우는 r → p)
3. 이 관계들을 바탕으로 항상 참이라고 할 수 있는 명제를 보기에서 찾습니다.
주의할 점:
주어진 조건으로부터 유도할 수 있는 모든 참인 명제(대우, 삼단논법 결과)를 모두 찾아놓고 보기와 비교하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.
”
삼단논법을 이용한 필요/충분조건 찾기
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삼단논법과 대우를 이용하여 조건들 사이의 관계를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 명제가 모두 참이므로, 그 대우도 모두 참입니다.
– r → q (주어짐) ⇒ ~q → ~r (대우)
– ~r → ~p (주어짐) ⇒ p → r (대우)
2. 삼단논법을 적용합니다.
– (p → r) 이고 (r → q) 이므로, **p → q** 입니다.
– (~q → ~r) 이고 (~r → ~p) 이므로, **~q → ~p** 입니다.
3. 이 관계들을 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
주의할 점:
주어진 명제만으로 연결되지 않을 때는, 그 대우를 구하여 새로운 연결고리를 찾는 것이 삼단논법 문제의 핵심 전략입니다.
”
삼단논법과 대우를 이용한 관계 추론하기
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절댓값 부등식을 포함한 조건들의 필요/충분 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) |x|+|y|=0 ⇔ x=0 이고 y=0. x²+y²=0 ⇔ x=0 이고 y=0. 두 조건은 **필요충분조건**입니다.
2. (ㄴ) x>y>0 이면 x²>y² 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (반례: x=-2, y=-1 이면 x²>y² 이지만 x>y>0이 아님). **충분조건**.
3. (ㄷ) |x+y|=|x|+|y| ⇔ xy≥0. xy>0이면 xy≥0이므로 **충분조건**입니다.
주의할 점:
절댓값과 관련된 여러 등식/부등식이 어떤 의미를 갖는지 정확히 알고 있어야 합니다. (예: |a+b|=|a|+|b| ⇔ ab≥0, |a+b|
”
절댓값 부등식과 필요/충분조건 관계 판별
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절대부등식과 관련된 필요/충분조건 문제입니다.
접근법:
1. (p) ax²+bx+c > 0. 이는 이차함수가 x축 위에 떠 있다는 의미입니다.
2. (q) b²-4ac 3. **(p와 q의 관계)** ‘모든 실수 x에 대하여’ ax²+bx+c > 0 이 성립하려면, **a>0 이고 b²-4ac 4. 따라서, q는 p이기 위한 **필요조건**이지만, a>0 조건이 없으므로 충분조건은 아닙니다. (반례: a
주의할 점:
‘모든 x에 대한 이차부등식’의 성립 조건은 최고차항의 계수(a)의 부호와 판별식(D)의 부호를 함께 고려해야 합니다.
”
절대부등식과 필요/충분조건의 관계
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‘모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 전체집합 U={-1, 0, 1}의 원소를 각 조건에 대입해 봅니다.
2. (p) ‘어떤 x에 대해 x+2>4 (즉, x>2) 이다.’ U의 원소 중 x>2를 만족하는 것은 없으므로 p는 **거짓**입니다.
3. (q) ‘모든 x에 대해 x²+3≥2 이다.’ U의 모든 원소(-1,0,1)는 이 부등식을 만족하므로 q는 **참**입니다.
4. p는 거짓인 명제, q는 참인 명제입니다. p→q는 ‘거짓→참’ 이므로 **참**입니다. q→p는 ‘참→거짓’이므로 **거짓**입니다.
5. 따라서 p는 q이기 위한 **충분조건**입니다.
주의할 점:
명제 p가 거짓일 경우, p→q는 q의 참/거짓에 관계없이 항상 참이 됩니다. (진공 참)
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 필요/충분조건 판별
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네 조건 사이의 관계를 통해 필요/충분/필요충분조건을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 조건의 진리집합을 생각하며 포함 관계를 따집니다.
2. (p와 q) A⊂B이면 A∩B=A 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
3. (p와 r) A⊂B이면 A∪B=B 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
4. (p와 s) A⊂B이면 A-B=∅ 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
5. 따라서 p, q, r, s는 모두 서로에게 필요충분조건입니다.
주의할 점:
집합의 포함 관계(A⊂B)와 동치인 여러 표현들을 정확하게 암기하고 있어야 합니다.
”
집합의 포함 관계와 필요충분조건 찾기
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산술-기하 평균 부등식과 관련된 필요/충분조건 문제입니다.
접근법:
1. (p↔q) a≥0, b≥0 이라는 전제 하에, a+b≥2√ab 는 산술-기하 평균 부등식이며 항상 성립합니다. 등호는 a=b일 때 성립합니다. 따라서 a+b=2√ab 와 a=b는 **필요충분조건**입니다.
2. (p와 r) a=b=0 이면 |a|+|b|=0 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (p→r)
3. (q와 r) a=b 이고 a≥0, b≥0 이면 |a|+|b|=0이 항상 성립하는 것은 아닙니다. (a=b=1일 때 |a|+|b|=2)
4. 관계를 종합하면, q는 p이기 위한 필요충분조건, p는 r이기 위한 충분조건입니다.
주의할 점:
산술-기하 평균 부등식이 성립하기 위한 전제 조건(두 수가 0 이상)과 등호 성립 조건(두 수가 같을 때)을 명확히 알고 있어야 합니다.
”
산술-기하 평균과 필요충분조건의 이해
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네 조건 사이의 관계를 화살표로 나타내고, 필요/충분조건을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 조건의 진리집합을 구하거나, 조건 사이의 논리적 관계를 파악하여 화살표(→)의 방향을 결정합니다.
2. (p와 q) x=y 이면 x²=y² 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (p→q)
3. (q와 r) x²=y² 이면 x=y 또는 x=-y 입니다. 이는 |x|=|y|와 동치입니다. (q↔r)
4. (p와 s) x=y 이면 x³=y³ 이고, 그 역도 성립합니다. (p↔s)
5. (r과 s) |x|=|y|와 x³=y³ 사이에는 직접적인 포함 관계가 성립하지 않습니다.
6. 화살표 관계를 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
주의할 점:
두 조건이 필요충분조건인지(진리집합이 같은지), 아니면 한쪽 방향으로만 포함되는지 정확히 구분해야 합니다.
”
네 조건 사이의 필요/충분조건 관계 분석하기
