마플시너지공통수학2풀이해설0951 집합원소의 갯수 전체집합과 교집합
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글쓴이 보관물: admin
마플시너지공통수학2풀이해설0949고퀄리티 풀이영상제공0949 귀류법을 이용한 증명 (무리수)
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[문제 949] 핵심 개념 및 풀이 전략
주어진 명제를 귀류법을 이용하여 증명하는 과정을 채우는 문제입니다.
접근법:
1. 귀류법은 명제의 **결론을 부정**한 뒤, 논리를 전개하여 **모순**을 이끌어내는 증명 방법입니다.
2. (결론 부정) √3이 유리수라고 가정합니다.
3. (가) 유리수는 기약분수로 표현할 수 있으므로, √3 = n/m (m,n은 **서로소**인 자연수)로 놓을 수 있습니다.
4. 식을 정리하면 n² = 3m² 이므로, n²은 3의 배수이고, 따라서 n도 3의 배수입니다.
5. n=3k를 대입하여 정리하면 m² = 3k² 이므로, m²도 3의 배수이고, 따라서 m도 3의 배수입니다.
6. 이는 m과 n이 3이라는 공약수를 갖게 되어, 처음에 가정한 ‘서로소’라는 사실에 **모순**됩니다.
주의할 점:
귀류법의 핵심은 ‘결론을 부정한 가정이 모순을 일으킨다’는 것을 보여줌으로써, 원래 결론이 참일 수밖에 없음을 증명하는 것입니다.
”
귀류법을 이용한 증명 (무리수)
마플시너지공통수학2풀이해설0948고퀄리티 풀이영상제공0948 대우를 이용한 증명 (홀수, 짝수)
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[문제 948] 핵심 개념 및 풀이 전략
주어진 명제의 증명 과정을 채우는 문제입니다. 대우를 이용한 증명법입니다.
접근법:
1. 원래 명제를 직접 증명하기 어려우므로, 그 **대우**가 참임을 보이는 방법을 사용합니다.
2. (가) 원래 명제의 대우는 ‘n이 홀수이면 n²도 홀수이다’ 입니다.
3. n이 홀수이므로, n=2k-1 (k는 자연수)로 표현할 수 있습니다.
4. n² = (2k-1)² = 4k²-4k+1 = 2(2k²-2k)+1 입니다.
5. 2k²-2k가 0 또는 자연수이므로, 2(정수)+1 형태는 항상 **홀수**입니다. (나)에 들어갈 내용은 2k²-2k, (다)에 들어갈 내용은 홀수입니다.
주의할 점:
대우를 이용한 증명은, 주어진 명제의 결론을 부정하여 새로운 가정으로 삼고, 원래 가정을 부정하여 새로운 결론을 이끌어내는 방식입니다.
”
대우를 이용한 증명 (홀수, 짝수)
마플시너지공통수학2풀이해설0947고퀄리티 풀이영상제공0947 삼단논법을 이용한 관계 추론하기
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[문제 947] 핵심 개념 및 풀이 전략
삼단논법을 이용해 여러 조건들 사이의 관계를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 명제 p→q, ~r→~q, r→s가 모두 참이므로, 그 대우도 참입니다. (q→r)
2. 삼단논법을 적용하여 새로운 참인 명제를 만듭니다.
– p→q 이고 q→r 이므로, **p→r** 입니다.
– p→r 이고 r→s 이므로, **p→s** 입니다.
3. 이 관계들을 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
– (ㄱ) p→r이 참이므로 p는 r이기 위한 충분조건.
– (ㄴ) p→s가 참이므로 p는 s이기 위한 충분조건.
– (ㄷ) q→r이 참이므로 q는 r이기 위한 충분조건.
주의할 점:
주어진 명제와 그 대우를 모두 나열한 뒤, 만들 수 있는 모든 삼단논법 연결고리를 찾아내는 것이 중요합니다.
”
삼단논법을 이용한 관계 추론하기
마플시너지공통수학2풀이해설0946고퀄리티 풀이영상제공0946 필요조건과 대우를 이용한 미지수 범위 찾기
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[문제 946] 핵심 개념 및 풀이 전략
주어진 관계가 필요조건이 되도록 하는 미지수의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~q는 ~p이기 위한 필요조건이다’는 것은, 명제 **~p → ~q가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 그 대우인 **q → p가 참**이라는 것과 같습니다.
3. 따라서, 진리집합 **Q⊂P**가 성립해야 합니다.
4. P와 Q의 범위를 수직선에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 하는 a의 범위를 찾아 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
복잡한 조건문을 대우를 이용해 q→p로 간단히 바꾸고, 이를 다시 진리집합의 포함관계(Q⊂P)로 변환하는 과정이 중요합니다.
”
필요조건과 대우를 이용한 미지수 범위 찾기
마플시너지공통수학2풀이해설0945고퀄리티 풀이영상제공0945 필요조건, 충분조건 종합 판별 문제
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[문제 945] 핵심 개념 및 풀이 전략
필요조건, 충분조건, 필요충분조건을 판별하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P, Q를 구하거나, 두 조건 사이의 논리적 포함 관계를 파악합니다.
2. (ㄱ) p_x=1, q:x²=1. P⊂Q이지만 P≠Q이므로 **충분조건**.
3. (ㄴ) p:마름모, q:평행사변형. 마름모는 평행사변형의 한 종류이므로 P⊂Q. **충분조건**.
4. (ㄷ) p_xy=0 ⇔ x=0 또는 y=0. q:|x|+|y|=0 ⇔ x=0 그리고 y=0. Q⊂P이지만 P≠Q이므로 **필요조건**.
5. (ㄹ) p:A⊂(B∩C), q:A⊂B이고 A⊂C. 두 조건은 동치입니다. **필요충분조건**.
주의할 점:
도형의 포함 관계(마름모⊂평행사변형)와 논리 연산자(‘또는’, ‘그리고’)의 의미를 정확히 구분해야 합니다.
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필요조건, 충분조건 종합 판별 문제
마플시너지공통수학2풀이해설0944고퀄리티 풀이영상제공0944 역과 대우가 모두 참인 명제 (필요충분조건) 찾기
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[문제 944] 핵심 개념 및 풀이 전략
922번 문제와 유사하게, 역과 대우가 모두 참인 명제, 즉 필요충분조건(P=Q)을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P와 Q를 구합니다.
2. P와 Q가 완전히 일치하는 경우를 찾습니다.
– (ㄱ) P={1,2}, Q={1,2} → P=Q
– (ㄴ) P={-1,1}, Q={1} → P≠Q
– (ㄷ) P={x|x>1}, Q={x|x>1} → P=Q
– (ㄹ) A-B=A ⇔ A∩B=∅ (서로소), A⊂Bᶜ ⇔ A∩B=∅. 두 조건은 동치이므로 P=Q.
주의할 점:
각 조건이 나타내는 집합 또는 관계를 정확히 해석하여 두 진리집합이 같은지 판별해야 합니다.
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역과 대우가 모두 참인 명제 (필요충분조건) 찾기
마플시너지공통수학2풀이해설0943고퀄리티 풀이영상제공0943 명제의 역이 참일 조건과 부등식 범위 구하기
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[문제 943] 핵심 개념 및 풀이 전략
명제의 역이 참이 되도록, 즉 Q⊂P가 성립하도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p와 q의 진리집합 P, Q를 각각 구합니다.
2. 수직선 위에 Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
3. Q의 범위가 P의 범위 안에 들어가기 위한 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 a의 범위를 찾고, 정수 a의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘역이 참’이라는 조건을 ‘Q⊂P’로 정확히 변환하는 것이 첫 단계입니다.
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명제의 역이 참일 조건과 부등식 범위 구하기
마플시너지공통수학2풀이해설0942고퀄리티 풀이영상제공0942 p→q가 참일 조건과 절댓값 부등식 풀기
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[문제 942] 핵심 개념 및 풀이 전략
주어진 명제가 참이 되도록 진리집합의 포함 관계(P⊂Q)를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. p: |x-1|≤3 의 해를 구합니다. P = {x | -2 ≤ x ≤ 4}.
2. q: |x-a|≤2 의 해를 구합니다. Q = {x | a-2 ≤ x ≤ a+2}.
3. p→q가 참이므로 P⊂Q가 성립해야 합니다.
4. 수직선 위에 P가 Q에 포함되도록 그림을 그리고, 끝점에 대한 부등식을 세웁니다. (a-2 ≤ -2 이고 4 ≤ a+2)
5. 두 부등식의 공통 범위를 찾아 정수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
절댓값 부등식을 정확하게 풀고, 수직선 위에서 포함 관계를 올바르게 표현하는 것이 중요합니다.
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p→q가 참일 조건과 절댓값 부등식 풀기
마플시너지공통수학2풀이해설0941고퀄리티 풀이영상제공0941 명제가 거짓임을 보이는 반례 찾기 (P-Q)
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[문제 941] 핵심 개념 및 풀이 전략
907번 문제와 동일하게, 명제가 거짓임을 보이는 반례를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 반례는 가정을 만족하면서(P에 속하면서), 결론은 만족하지 않는(Q에 속하지 않는) 원소입니다. (P-Q)
2. (p) 8의 약수: P = {1, 2, 4, 8}
3. (q) 4의 약수: Q = {1, 2, 4}
4. P-Q는 P의 원소 중 Q에 없는 것을 찾으면 되므로, {8} 입니다.
주의할 점:
반례는 항상 ‘가정’의 진리집합에서 찾아야 합니다.
”
명제가 거짓임을 보이는 반례 찾기 (P-Q)