“
부등식의 해집합 사이의 포함 관계를 이용하여 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 집합의 조건인 이차부등식을 풀어 해집합을 구합니다.
– A = {x | -2a ≤ x ≤ a} (자연수 a이므로)
– B = {x | -10 2. A⊂B가 성립하도록 수직선 위에 두 집합의 범위를 나타냅니다.
3. 수직선을 보고, A의 양 끝값이 B의 범위 안에 포함되기 위한 부등식을 세웁니다.
– -10 4. 두 부등식을 모두 만족하는 자연수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
수직선을 이용해 포함 관계를 시각적으로 표현하면 부등식을 세울 때 실수를 줄일 수 있습니다. 등호 포함 여부를 주의 깊게 판단해야 합니다.
”
두 부등식 해집합의 포함 관계(A⊂B)
“
부분집합 관계(B⊂A)를 만족하는 자연수의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A는 30의 양의 약수, 집합 B는 k의 양의 약수입니다.
2. B⊂A가 성립하려면, **k의 모든 약수가 30의 약수**여야 합니다.
3. 이는 곧 **k가 30의 약수**임을 의미합니다.
4. 30의 약수 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 중에서, 문제에서 요구하는 ‘두 자리 자연수’ k를 모두 찾습니다.
5. 찾은 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘k의 약수’ ⊂ ’30의 약수’ 라는 조건이 ‘k는 30의 약수’라는 조건과 동치임을 이해하는 것이 핵심입니다.
”
두 약수 집합의 포함 관계(B⊂A)
“
부분집합 관계(A⊂B)를 만족하도록 하는 미지수를 찾는 문제입니다. 경우를 나누어 생각해야 합니다.
접근법:
1. A⊂B가 되려면, A의 원소 a+2와 3이 모두 B에 있어야 합니다.
2. B의 원소 3은 이미 A에 있으므로, A의 원소 **a+2가 B의 원소 중 하나**여야 합니다.
– (경우 1) a+2 = a-2 : 모순
– (경우 2) a+2 = a²-1
– (경우 3) a+2 = 7
3. 각 경우에서 나온 a값을 원래 집합에 대입하여 실제로 A⊂B가 성립하는지 확인합니다.
4. 성립하는 a값일 때의 집합 B의 모든 원소의 합(b)을 구하고, a+b를 계산합니다.
주의할 점:
미지수를 포함한 원소를 기준으로 경우를 나누고, 각 경우에 대해 반드시 포함 관계가 성립하는지 검증하는 과정이 필요합니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 미지수 a의 합
“
한 집합이 다른 집합의 부분집합이 될 조건(A⊂B)을 이용하여 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소 1과 3이 모두 집합 B에 포함되어야 합니다.
2. (1∈B 조건) B의 원소 중 하나가 1이어야 합니다. a+2=1 또는 4a-5=1 이라는 두 가지 가능성이 있습니다.
3. (3∈B 조건) B의 원소 중 하나가 3이어야 합니다. a+2=3 또는 4a-5=3 이라는 두 가지 가능성이 있습니다.
4. A⊂B가 성립하려면, 1과 3이 모두 B에 있어야 하므로, 각 경우를 만족하는 a값을 찾고, 그 a값이 실제로 1과 3을 모두 B의 원소로 만드는지 확인합니다.
주의할 점:
A의 모든 원소가 B에 속해야 하므로, 각 원소에 대한 조건을 모두 만족시키는 a값을 찾아야 합니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 미지수 a값
“
두 집합이 같을 조건을 이용하여 미지수를 찾는 문제입니다. 701번과 동일한 유형입니다.
접근법:
1. A=B이므로, B의 원소 2는 A에도 있어야 합니다. 따라서 a+2=2 또는 a²-2=2 입니다.
2. (경우 1) a+2=2 (즉, a=0)일 때: a=0을 A, B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
3. (경우 2) a²-2=2 (즉, a=±2)일 때: a=2와 a=-2를 각각 A, B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
4. 세 가지 경우 중 두 집합을 일치시키는 유일한 a값을 찾습니다.
주의할 점:
한쪽 집합의 원소를 기준으로 경우를 나눈 뒤, 각 경우에 대해 반드시 검산하여 모순이 없는지 확인해야 합니다.
”
두 집합이 같을 조건과 미지수 a값
“
이차부등식의 해집합이 하나의 원소만 가질 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A=B이고 B={a}이므로, 집합 A의 원소도 a 하나뿐입니다.
2. 즉, 이차부등식 x²-2bx+b+6 ≤ 0 의 해가 오직 x=a 하나만 존재해야 합니다.
3. 아래로 볼록한 이차함수의 값이 0 이하인 지점이 오직 하나만 존재하려면, 그 이차함수가 x축에 **접해야** 하며, 그 접점의 x좌표가 a가 되어야 합니다.
4. 따라서 이차방정식 x²-2bx+b+6=0이 중근 a를 가져야 합니다. 이는 (x-a)²=0 과 같아야 함을 의미합니다.
5. 두 이차방정식 x²-2bx+b+6=0 과 x²-2ax+a²=0 의 계수를 비교하여 a, b값을 찾습니다.
주의할 점:
이차부등식의 해가 오직 하나일 경우는 완전제곱식 형태로 묶이고 그 값이 0이 되는 경우 뿐입니다.
”
이차부등식 해가 하나일 때의 조건
“
부등식의 해집합이 서로 같을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 B 해석) 절대값 부등식 |x-1|2. (A=B 조건) 집합 A의 조건인 이차부등식 x²+ax+b 3. 해가 -2 4. 두 이차부등식 x²+ax+b
주의할 점:
해를 보고 이차부등식을 역으로 만드는 과정을 정확히 할 수 있어야 합니다. 최고차항의 계수 부호에도 주의해야 합니다.
”
두 부등식의 해집합이 같을 조건
“
이차방정식의 해를 원소로 하는 집합과 다른 집합이 서로 같을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A=B 이므로, 집합 B의 원소 1은 집합 A의 원소여야 합니다.
2. 즉, x=1은 이차방정식 x²+3x-a=0의 해입니다. x=1을 대입하여 a값을 구합니다.
3. a값을 다시 이차방정식에 대입하여 나머지 해를 구합니다. 이 나머지 해가 바로 b가 됩니다.
4. a와 b값을 모두 구한 뒤, a-b를 계산합니다.
주의할 점:
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 풀 수도 있습니다. (두 근의 합 = 1+b = -3)
”
이차방정식의 해와 집합이 같을 조건
“
701번 문제와 동일하게, 두 집합이 같을 조건을 이용하여 미지수를 찾고, 원소의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. A=B이므로, A의 원소 3은 B에도 있어야 합니다.
2. B의 원소 중 3이 될 수 있는 것은 a²-2a 입니다. (나머지 원소는 -2, 4로 고정)
3. a²-2a = 3 이라는 이차방정식을 풀어 가능한 a값을 모두 구합니다.
4. 각 a값에 대해, 두 집합 A와 B가 실제로 일치하는지 확인합니다.
5. 조건을 만족하는 a일 때의 집합 A의 모든 원소의 합을 구합니다.
주의할 점:
이차방정식의 해가 여러 개 나올 수 있으므로, 모든 해에 대해 검산 과정을 거쳐야 합니다.
”
두 집합이 같을 조건과 미지수 a값
“
두 집합이 서로 같을 조건을 이용하는 문제입니다. 원소에 미지수가 포함되어 있어 경우를 나누어 생각해야 합니다.
접근법:
1. A=B가 되려면, A의 원소와 B의 원소가 일치해야 합니다.
2. B의 원소 3은 A에도 반드시 있어야 합니다. 따라서 a+1=3 또는 a-2=3 이라는 두 가지 가능성이 생깁니다.
3. (경우 1) a+1=3 (즉, a=2)일 때: a=2를 A와 B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
4. (경우 2) a-2=3 (즉, a=5)일 때: a=5를 A와 B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
5. 두 집합이 일치하게 만드는 a값을 찾고, 그때의 집합 A의 모든 원소의 합을 구합니다.
주의할 점:
가능한 경우를 나눈 뒤, 각 경우에 대해 조건을 만족하는지 반드시 검산하는 과정이 필요합니다.
”
두 집합이 같을 때 원소의 합 구하기
