“
진부분집합의 개수를 구하고, 주어진 값과 다른 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 진부분집합의 개수가 31개라는 것은, **2ⁿ – 1 = 31** 이라는 의미입니다. 즉, 2ⁿ=32 이므로, 원래 집합의 원소의 개수 n은 5개입니다.
2. 각 보기의 집합을 원소나열법으로 나타내고, **원소의 개수가 5가 아닌 것**을 찾으면 됩니다.
3. ⑤번의 경우, {1, 3, 5, 7} 이므로 원소의 개수가 4개입니다. 따라서 진부분집합의 개수는 2⁴-1 = 15개가 되어 31이 아닙니다.
주의할 점:
부분집합의 개수(2ⁿ)와 진부분집합의 개수(2ⁿ-1)를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
진부분집합 개수로 원소의 개수 찾기
“
부분집합의 개수를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. |x-2|2. 집합 A의 원소의 개수는 5개입니다.
3. 원소의 개수가 n개인 집합의 부분집합의 개수는 **2ⁿ** 개입니다.
4. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2⁵ 입니다.
주의할 점:
주어진 조건(부등식, x는 정수)을 정확히 해석하여 집합의 원소 개수를 올바르게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
부분집합의 개수(2ⁿ) 구하기
“
진부분집합의 모든 원소의 합(S(X))의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
2. 집합 X는 A의 진부분집합입니다.
3. 원소의 합 S(X)가 최대가 되려면, X는 가능한 한 많은 원소를 가져야 하며, 그 원소들의 값이 커야 합니다.
4. 합이 가장 큰 부분집합은 A 자기 자신입니다. 하지만 X는 진부분집합이므로 자기 자신은 될 수 없습니다.
5. 따라서, 합이 최대가 되는 진부분집합은 A에서 **가장 작은 원소 하나를 제외한** 부분집합입니다.
6. A의 모든 원소의 합에서 가장 작은 원소인 2를 뺀 값이 S(X)의 최댓값이 됩니다.
주의할 점:
진부분집합의 의미를 정확히 파악하고, 합이 최대가 되기 위한 조건을 논리적으로 추론해야 합니다.
”
진부분집합 원소의 합의 최댓값
“
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. 0 2. 이제 집합 A={2, 3, 5, 7}의 부분집합 중에서, n(X)=2, 즉 **원소의 개수가 2개**인 부분집합을 모두 찾으면 됩니다.
3. 4개의 원소 중에서 2개를 뽑는 조합의 수와 같습니다. (₄C₂)
4. 경우의 수를 계산하거나, 직접 {2,3}, {2,5}, {2,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7} 과 같이 나열하여 개수를 셉니다.
주의할 점:
부분집합의 개수를 묻는 문제에서 원소의 개수에 대한 조건이 주어지면, 조합(Combination)의 개념을 활용하면 편리합니다.
”
원소 개수가 정해진 부분집합의 개수
“
부분집합과 진부분집합의 정의를 정확히 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
접근법:
(진부분집합) 자기 자신을 제외한 부분집합입니다.
(ㄱ) {∅}는 A의 원소 ∅를 원소로 갖는 A의 부분집합이며, A 자신은 아니므로 진부분집합이 맞습니다.
(ㄴ) {∅, {1}}은 A의 두 원소 ∅와 {1}을 원소로 갖는 A의 부분집합이며, A 자신은 아니므로 진부분집합이 맞습니다.
(ㄷ) {∅, 1, 2, {1}}은 집합 A 자기 자신입니다. 따라서 A의 부분집합은 맞지만, 진부분집합은 아닙니다.
주의할 점:
진부분집합의 정의는 ‘A⊂B이고 A≠B’ 입니다. 자기 자신은 진부분집합에서 제외됩니다.
”
부분집합과 진부분집합의 정의
“
한 집합의 부분집합 관계를 통해 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 집합 Aₙ과 A₂₅를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A₂₅ = {x | x는 √25=5 이하의 홀수} = {1, 3, 5}
– Aₙ = {x | x는 √n 이하의 홀수}
2. Aₙ ⊂ A₂₅가 성립하려면, Aₙ의 모든 원소가 {1, 3, 5}에 포함되어야 합니다.
3. Aₙ의 원소는 항상 {1}, {1,3}, {1,3,5}, … 형태입니다. 따라서 Aₙ이 A₂₅에 포함되려면, Aₙ의 가장 큰 원소가 5 이하여야 합니다.
4. 즉, √n 이하의 홀수 중 가장 큰 수가 5여야 하므로, 5 ≤ √n 5. 양변을 제곱하여 25 ≤ n
주의할 점:
√n의 값에 따라 Aₙ의 원소가 어떻게 변하는지를 파악하는 것이 중요합니다.
”
부분집합 관계를 만족하는 n의 최댓값
“
부분집합 관계(A⊂B)를 만족하는 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 B는 8의 약수이므로 B={1, 2, 4, 8} 입니다.
2. 집합 A={1, 2a}가 B의 부분집합이 되려면, A의 모든 원소가 B에 있어야 합니다.
3. 원소 1은 이미 B에 있으므로, 원소 2a가 B에 포함되면 됩니다.
4. 따라서 2a가 될 수 있는 값은 1, 2, 4, 8 입니다.
5. 각 경우에 대해 a값을 구하고, a가 ‘자연수’라는 조건에 맞는 값들을 모두 더합니다.
주의할 점:
a 자체의 조건(자연수)을 마지막에 반드시 확인하여 답을 필터링해야 합니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 미지수의 합
“
부분집합 관계(A⊂B)를 이용하여 방정식의 해를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A는 방정식 (x-5)(x-a)=0의 해이므로, A = {5, a} 입니다.
2. 집합 B = {-3, 5} 입니다.
3. A⊂B가 성립하려면, A의 모든 원소가 B에 있어야 합니다.
4. A의 원소 5는 이미 B에 있으므로, 나머지 원소 a가 B에 있으면 됩니다.
5. 따라서 a = -3 이 되어야 합니다.
6. 문제에서 ‘양수 a’를 묻고 있으므로, A⊂B를 만족시키는 양수 a는 존재하지 않습니다. (문제 오류 가능성 확인 – 해설에서는 a=5를 답으로 함. 이는 A=B인 경우임. A⊂B의 일반적인 경우를 고려해야 함)
주의할 점:
A⊂B 조건에서 A=B인 경우도 포함됩니다. 만약 a=5라면 A={5}가 되어 B에 포함되므로, a=5도 가능한 해입니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 방정식의 해
“
두 집합이 모두 다른 한 집합의 부분집합이 될 조건을 이용해 미지수의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, C를 모두 원소나열법 또는 범위로 나타냅니다.
– A = {-5, -3, -1, 1}
– B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}
– C = {정수 x | 1-k 2. **(A⊂C 조건)** 집합 C가 A의 모든 원소를 포함해야 합니다. A의 가장 작은 원소(-5)와 가장 큰 원소(1)를 기준으로 범위를 설정합니다. (1-k ≤ -5 그리고 1 3. **(B⊂C 조건)** 집합 C가 B의 모든 원소를 포함해야 합니다. B의 가장 작은 원소(-1)와 가장 큰 원소(4)를 기준으로 범위를 설정합니다. (1-k ≤ -1 그리고 4 4. 두 조건을 모두 만족하는 k의 공통 범위를 찾아, 양의 정수 k의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
C가 A와 B를 모두 포함하려면, A와 B를 합친 집합(A∪B)의 최소, 최대 원소를 모두 포함해야 합니다. 즉, C는 {-5, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4}를 포함해야 합니다.
”
두 집합을 모두 포함하는 집합의 조건
“
연속적인 포함 관계(A⊂B⊂C)를 만족하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, C를 각각 부등식의 해로 표현합니다.
– A = {x | -3 ≤ x ≤ 3}
– B = {x | -a – C = {x | -9 ≤ x ≤ 9}
2. 수직선 위에 세 집합의 포함 관계가 나타나도록 그립니다.
3. (A⊂B 조건) -a 3.
4. (B⊂C 조건) -9 ≤ -a 이고 a ≤ 9 여야 합니다. 즉, a ≤ 9.
5. 두 조건을 모두 만족하는 자연수 a의 범위를 찾고, 그 합을 구합니다.
주의할 점:
각 포함 관계에 대해 부등식을 세우고, 최종적으로 연립부등식을 풀어 공통 범위를 찾아야 합니다.
”
세 집합의 연속적인 포함 관계(A⊂B⊂C)
