“
두 집합이 서로 같을 조건(A=B)을 이용하여 미지수를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. ‘A⊂B 이고 B⊂A’ 라는 것은 ‘A=B’ 와 같은 의미입니다.
2. 집합 A는 6의 양의 약수이므로, A = {1, 2, 3, 6} 입니다.
3. A=B가 되려면 두 집합의 원소가 완전히 일치해야 합니다.
4. 집합 B의 원소 {1, 2, a+1, b}와 비교하면, a+1과 b가 각각 3과 6이 되어야 합니다.
5. 두 가지 경우(a+1=3, b=6 또는 a+1=6, b=3) 모두 a+b의 값은 동일합니다.
주의할 점:
두 집합이 같다는 것은 원소의 구성이 완전히 동일하다는 의미입니다. 순서는 상관없습니다.
”
두 집합이 서로 같을 조건(A=B)
“
주어진 벤 다이어그램의 포함 관계(A⊂B 이고 A≠B)를 만족하는 두 집합의 쌍을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 집합 A와 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
2. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되는지(A⊂B) 확인합니다.
3. 집합 A와 B가 서로 같지는 않은지(A≠B) 확인합니다.
4. 두 조건을 모두 만족하는 보기를 선택합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램은 A가 B의 ‘진부분집합’임을 나타내고 있습니다. A⊂B와 A≠B를 동시에 만족해야 합니다.
”
벤 다이어그램으로 집합의 포함 관계 찾기
“
다른 집합의 원소를 이용해 새롭게 정의된 집합들 사이의 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A) A = {0, 1, 2}
2. (집합 B) A의 원소 x, y를 이용해 2x+y의 모든 가능한 값을 구하여 집합 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
3. (집합 C) A의 원소 x, y를 이용해 xy의 모든 가능한 값을 구하여 집합 C를 원소나열법으로 나타냅니다.
4. 세 집합 A, B, C의 원소들을 비교하여 포함 관계를 확인합니다.
주의할 점:
x와 y는 A의 원소 중 같은 것을 선택할 수도 있습니다. (예: 2*0+0=0, 0*0=0). 모든 조합을 빠짐없이 계산해야 합니다.
”
새로운 규칙으로 정의된 집합의 포함 관계
“
세 집합을 각각 원소나열법으로 나타내고, 그들 사이의 포함 관계를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A) A = {-1, 0, 1}
2. (집합 B) 방정식 x²-1=0의 해는 x=±1 이므로, B = {-1, 1}
3. (집합 C) -2 4. 세 집합의 원소를 비교합니다. A와 C는 같고, B는 A(또는 C)에 포함됩니다. 따라서 B ⊂ A = C 와 같은 관계를 찾습니다.
주의할 점:
집합 C에서 x가 ‘정수’라는 조건을 놓치면 안 됩니다. 조건제시법을 원소나열법으로 정확히 변환하는 것이 핵심입니다.
”
세 집합 사이의 포함 관계(⊂) 이해
“
이차방정식의 해를 원소로 하는 집합의 원소 개수가 1개일 조건을 묻는 문제입니다. 단, 이차항의 계수가 0이 되는 경우를 고려해야 합니다.
접근법:
n(A)=1, 즉 해가 하나만 존재하려면 두 가지 경우가 있습니다.
1. (경우 1: 이차방정식일 때) k-1 ≠ 0 이고, 방정식이 **중근**을 가질 때입니다. **판별식 D = 0** 을 풀어 k값을 찾습니다.
2. (경우 2: 일차방정식일 때) 이차항의 계수가 0일 때, 즉 **k-1 = 0** 일 때입니다. 이때 주어진 식이 일차방정식이 되어 해를 하나 갖는지 확인합니다.
3. 두 경우에서 나온 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
이차방정식이라는 말이 없을 때, 최고차항의 계수가 0이 되는 특별한 경우를 빠뜨리지 않도록 항상 주의해야 합니다.
”
해가 1개일 조건(이차항 계수 미지수)
“
이차방정식의 해의 개수(0개, 1개, 2개)를 판별식을 이용하여 구하고, 그 개수들의 총합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 Aₖ의 원소 개수는 이차방정식 x²+4x-k+9=0의 실근의 개수와 같습니다.
2. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면, D의 부호에 따라 실근의 개수가 결정됩니다.
– D – D = 0 (k=5) 이면, n(Aₖ)=1
– D > 0 (k>5) 이면, n(Aₖ)=2
3. k=1부터 10까지 각 경우에 해당하는 n(Aₖ) 값을 구하여 모두 더합니다.
주의할 점:
k값의 범위에 따라 실근의 개수가 어떻게 변하는지를 체계적으로 분석해야 합니다.
”
이차방정식 실근 개수와 원소 개수의 합
“
두 집합의 원소의 개수가 같을 조건을 이용하여 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 두 집합의 원소 개수가 같을 조건(공집합)
1. (n(A) 구하기) 집합 A는 방정식 x²+x+1=0의 실수 해의 집합입니다. 이 방정식의 판별식 D 2. (n(B) 구하기) n(A)=n(B)가 되려면 n(B)=0 이어야 합니다. 이는 집합 B의 조건인 이차방정식 x²-2kx+10k=0이 **허근**을 가져야 함을 의미합니다.
3. 따라서 이차방정식 x²-2kx+10k=0의 판별식 D
각 집합의 원소 개수를 먼저 정확하게 파악하는 것이 중요합니다.
“
이차부등식의 해를 원소로 하는 집합의 원소 개수가 1개일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. n(A)=1 이 되려면, 부등식 x²+2kx+2k+3 ≤ 0을 만족하는 **실수 x가 오직 하나만 존재**해야 합니다.
2. 아래로 볼록한 이차함수의 값이 0 이하인 지점이 오직 하나만 존재하려면, 그 이차함수가 **x축에 접해야** 합니다.
3. 따라서 이차방정식 x²+2kx+2k+3=0이 **중근**을 가져야 합니다.
4. 이 이차방정식의 판별식 D = 0** 이라는 등식을 세워 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
이차부등식의 해가 오직 하나일 경우는, 완전제곱식 형태로 묶이고 그 값이 0이 되는 경우 뿐입니다.
”
이차부등식의 해가 1개일 조건
“
이차부등식의 해를 원소로 하는 집합이 공집합이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A가 공집합(A=∅)이 되려면, 부등식 x²-2kx+2k+8 2. 이는 모든 실수 x에 대하여 부등식 **x²-2kx+2k+8 ≥ 0** 이 항상 성립해야 함을 의미합니다.
3. 아래로 볼록한 이차함수가 항상 0 이상이려면, x축에 접하거나(중근) x축 위에 떠 있어야(허근) 합니다.
4. 따라서 이차방정식 x²-2kx+2k+8=0의 판별식 D ≤ 0** 이어야 합니다.
5. 이 부등식을 풀어 k의 최댓값과 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
부등식의 해집합이 공집합이 될 조건은, 그 부등식을 반대로 바꾼(등호 포함) 식이 ‘모든 실수에 대해 성립’할 조건과 같습니다.
”
이차부등식의 해가 없는 집합(공집합)
“
이차방정식의 해를 원소로 하는 집합이 공집합이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 이차방정식의 해가 없는 집합(공집합)
1. 집합 A가 공집합(A=∅)이 되려면, 조건 x²-2kx-3k+10=0을 만족하는 **실수 x가 존재하지 않아야** 합니다.
2. 이는 이차방정식 x²-2kx-3k+10=0이 허근을 가져야 함을 의미합니다.
3. 이차방정식이 허근을 가질 조건은 판별식 D 4. 판별식을 k에 대한 식으로 나타내고, D
집합이 공집합이라는 조건을 방정식의 해가 없다는(실근이 없다는) 조건으로 변환하는 것이 중요합니다.
