📌 이 단원, 수능에서는 이렇게 쓰인다
평면좌표는 도형을 좌표로 옮겨 대수적으로 다루는 해석기하의 출발점입니다. 단독으로 출제되기보다 도형의 방정식·원·직선과 결합되어 나오며, 그 결합의 기초 도구가 바로 두 점 사이의 거리입니다.
특히 이번 유형인 ‘거리의 제곱의 합(AP²+BP²)의 최솟값’은 평면좌표의 거리 공식과 이차함수의 최솟값(완전제곱식)이 맞물리는 대표 결합 문항입니다. 수능·내신에서 단답형이나 4점 변형으로 반복 출제되므로, 다음 3단계 패턴을 자동화하는 것이 고득점의 열쇠입니다.
① 조건에 맞게 점의 좌표 설정 → ② 거리식 세우기(제곱하면 루트 소거) → ③ 이차식을 완전제곱식으로 변형해 최솟값 읽기
1. 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
- “x축 위의 점”이라는 한 줄이 핵심 → 점 P를 P(b, 0) 으로 두어 미지수를 하나(b)로 줄입니다.
- 구하는 식이 거리의 ‘제곱’이므로 √(루트)가 사라지고 b에 대한 이차식이 됩니다. (거리식을 굳이 √ 상태로 다루지 않는 것이 포인트)
- 이차식을 2(b−2)²+18 꼴의 완전제곱식으로 변형 → 꼭짓점에서 최솟값이 결정됩니다.
- 최솟값 a=18, 그때의 x좌표 b=2 를 각각 읽어 a+b=20. ‘무엇을 묻는지’ 두 값을 분리해 읽는 습관이 실수를 막습니다.
2. 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭 시 개념 이동)
이 문제는 평면좌표 단원의 거리 공식에 더해, 타 단원(공통수학1)의 이차식 최솟값 개념이 함께 동원됩니다. 막혔던 지점을 콕 집어 복습하세요.
- 🔗 직선 위의 점 좌표 설정법 — x축 위의 점을 (b, 0)으로 놓는 출발 단계
- 🔗 두 점 사이의 거리 공식 — AP, BP를 식으로 세우는 도구
- 🔗 완전제곱식을 이용한 이차식의 최솟값 — 2(b−2)²+18 변형의 핵심(공통수학1 연계)
- 🔗 AP²+BP²이 최소가 되는 점의 기하적 의미(중점) — 답을 검산하는 관점
3. 해설 동영상
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4. 해설 이미지
5. 함께 보면 좋은 개념정리
- 📘 두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지
- 📘 AP²+BP² 최솟값 구하기 — 완전제곱식 변환과 이차함수 최솟값
- 📘 AP²+BP²이 최소가 되는 점 P — A·B 중점의 의미
- 📘 직선 위의 점 좌표 설정법 — x축·y축·y=mx+n 위의 점
6. 연산력 다지기 (연산문제)
※ 연산문제 포스트는 발행 후 링크가 활성화됩니다.