📌 이 유형, 수능에서 왜 중요한가
평면좌표 단원의 두 점 사이의 거리 공식은 그 자체로 단독 출제되기보다, 도형의 최단거리·이차함수의 최솟값·함수의 그래프와 결합되어 고배점(4점) 문항으로 변형됩니다. 공식 자체는 쉽지만, 수능 고득점의 갈림길은 “주어진 상황을 좌표로 옮기는 능력”과 “거리식을 이차식으로 바꿔 최솟값을 처리하는 능력”에서 갈립니다.
특히 이 문항처럼 점이 시간에 따라 움직이는 상황은, 시간 t를 매개변수로 두 점의 좌표를 표현한 뒤 거리를 t에 대한 이차식으로 세우고, 완전제곱식으로 최솟값을 찾는 흐름이 핵심입니다. 이 흐름은 이차함수의 최대·최소(공통수학1), 도형의 방정식, 함수의 활용과 자연스럽게 연결되므로, 한 문제를 제대로 풀어두면 여러 단원의 결합 문항에 대비할 수 있습니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
- 실생활 상황의 좌표화 : 수직으로 만나는 두 도로 → 점 O를 원점, 동서를 x축, 남북을 y축으로 설정.
- 움직이는 점의 좌표 표현 : t시간 후 두 학생의 위치를 각각 P(−10+3t, 0), Q(0, −5+4t)로 매개변수화.
- 거리식 → 이차식 → 완전제곱 : 두 점 사이의 거리를 세우면 근호 안이 t에 대한 이차식이 되고, 이를 25(t−2)2+25 꼴로 변형해 최솟값을 찾습니다.
- 핵심 함정 1 : 근호 안 이차식의 최솟값을 구하는 순간이 곧 거리의 최솟값. (√ 는 증가함수이므로 근호 안이 최소일 때 거리도 최소)
- 핵심 함정 2 : 묻는 것은 거리 그 자체(b)와 그때의 시간(a). 둘을 혼동하지 말고 a+b로 마무리.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭하면 이동)
이 문항을 풀기 위해 이 단원 밖에서 끌어와야 하는 개념을 중심으로 정리했습니다.
- 두 점 사이의 거리 공식 — 거리식을 세우는 출발점
- 이차함수의 최솟값 · 완전제곱식 변형(공통수학1) — 근호 안 25t2−100t+125 를 25(t−2)2+25 로 바꾸는 핵심 도구
- 선분 길이의 합(AP+BP)의 최솟값 원리 — 같은 ‘거리 최솟값’ 유형의 확장 개념
▶️ 해설 동영상
🖼️ 해설 이미지
