📌 이 유형, 수능에서 왜 중요한가
평면좌표 단원의 두 점 사이의 거리 활용은 거리 공식 단독으로 나오기보다, 도형의 성질·그래프·함수의 최대최소와 묶여 출제됩니다. 그중에서도 ‘거리의 합의 최솟값’은 다음 두 능력을 동시에 묻는 대표 고난도 소재입니다.
- 식 √( )+√( ) 을 보고 두 선분의 길이의 합으로 기하학적으로 번역하는 능력
- 삼각부등식(두 변의 합 ≥ 나머지 한 변)을 떠올려 ‘언제 최소가 되는가’를 판단하는 능력
이 원리는 이후 직선에 대한 대칭이동을 이용한 최단경로, 삼각형의 무게중심·외심·내심 좌표, 함수의 최솟값 문제로 확장됩니다. 따라서 ‘거리공식 암기’가 아니라 식 → 거리 → 최소조건으로 이어지는 해석의 흐름을 잡아두는 것이 고득점의 출발점입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심맥락
출제의도 — 복잡해 보이는 두 제곱근의 합을, 두 선분의 길이의 합으로 바꿔 볼 수 있는가를 묻습니다.
핵심맥락 ① 주어진 식의 각 항을 거리로 해석합니다.
√(a²+b²) = OA , √((a−2)²+(b+1)²) = AB
핵심맥락 ② 점 A(a, b)는 자유롭게 움직이는 점이므로, OA + AB는 점 A의 위치에 따라 달라집니다.
핵심맥락 ③ 삼각부등식에 의해 OA + AB ≥ OB 이고, 등호는 점 A가 선분 OB 위에 있을 때(세 점 O, A, B가 일직선) 성립합니다. 이때가 곧 최솟값입니다.
결론 — 최솟값은 선분 OB의 길이이므로,
최솟값 = OB = √(2² + (−1)²) = √5 → 정답 ②
🔑 풀이에 필요한 핵심 키워드
아래 개념이 막히면 클릭해 먼저 정리하고 오세요.
- 두 점 사이의 거리 공식 — 식의 각 항을 OA, AB로 번역하는 출발점
- 선분의 길이의 합의 최솟값 원리(점 A가 선분 OB 위에 있을 때 최소) — 이 문제의 핵심 논리
- 삼각부등식(단원 외 / 도형의 기초) — 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크거나 같다. 등호는 세 점이 일직선 위에 있을 때 성립한다는 점이 ‘최소 조건’의 근거입니다.
🎬 해설 동영상
※ 해설 동영상은 준비 중입니다.
📝 해설 이미지
📚 관련 개념정리 포스트
- 두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지
- AP+BP 최솟값 원리 — 점 P가 선분 AB 위에 있을 때 최소
- 두 쌍의 거리 합 최솟값 — (PA+PC)+(PO+PB) 분리 후 결합
✏️ 관련 연산문제 포스트
※ 연산문제 포스트가 게시되면 위 링크로 바로 연결됩니다.