📌 이 유형, 왜 중요한가 — 수능 고득점 관점 분석
평면좌표(두 점 사이의 거리)는 도형을 좌표 위에서 다루는 모든 단원의 출발점입니다. 거리 공식은 이후 원의 방정식, 도형의 결정(이등변·직각 판정), 자취의 방정식, 최단거리·최적화 문제로 그대로 확장됩니다.
특히 이 문제처럼 좌표에 매개변수 t가 들어가면, 거리의 제곱 l²이 t에 대한 이차식이 됩니다. 즉 「거리 공식 → 이차함수의 최대·최소」로 곧장 연결되는 단원 융합형이라는 점이 핵심입니다.
수능·모평에서 이런 융합 문항은 단순 계산이 아니라 식의 구조를 읽고(무엇을 최소화 대상으로 삼을지) 판단하는 능력을 평가합니다. 고득점의 갈림길은 바로 이 ‘대상 설정’에서 생깁니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
출제의도 — 두 점 사이의 거리 공식으로 l을 t의 식으로 표현한 뒤, l 자체(제곱근)가 아니라 l²을 최소화 대상으로 삼아 이차함수의 최솟값을 구하도록 설계된 문항입니다.
핵심 맥락 3단계
- 거리 공식 적용 — 제곱근 안의 식을 정확히 전개해 t에 대한 이차식으로 정리합니다.
- 대상 설정 판단 — 제곱근은 증가함수이므로 l²이 최소일 때 l도 최소. 루트째 다루지 않고 l²을 다루는 것이 시간 단축의 열쇠입니다.
- 완전제곱식 변형 — t에 대한 이차식을 a(t−p)²+q 꼴로 정리하면 꼭짓점 y좌표가 곧 최솟값입니다. (판별식 검토는 식이 항상 양수임을 확인하는 보조 장치)
🔑 문제풀이에 필요한 핵심 키워드
단원 핵심 + 타 단원 연계 개념입니다. 키워드를 누르면 관련 정리로 이동합니다.
- 두 점 사이의 거리 공식 — 본 단원 핵심. 좌표 차의 제곱합에 제곱근.
- 거리 조건으로 이차식 세우기 — 매개변수를 거리 공식에 대입해 t의 이차식으로 정리.
- 완전제곱식을 이용한 이차식의 최솟값 — (공통수학1·이차함수 연계) a(t−p)²+q 꼴의 꼭짓점이 곧 최솟값.
- 이차방정식의 판별식 D — (공통수학1·이차방정식 연계) 이차식이 항상 양수임을 확인하는 보조 점검.
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