수학적 귀납법 정리 및 증명 절차
이번에는 수학적 귀납법의 정의와 증명 절차를 정리했습니다.
모든 자연수에 대해 명제가 성립함을 증명할 때 사용하는 가장 대표적인 방법입니다.
1️⃣ 수학적 귀납법의 정의
자연수 \(n\)에 대한 명제 \(p(n)\)이 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 됩니다.
- (i) \(n = 1\)일 때, 명제 \(p(n)\)이 성립한다.
- (ii) \(n = k\)일 때 명제 \(p(n)\)이 성립한다고 가정하면, \(n = k+1\)일 때도 명제 \(p(n)\)이 성립함을 보인다.
위 과정을 수학적 귀납법이라고 합니다.
2️⃣ 증명 접근 방법
자연수 \(n\)에 대한 다음과 같은 등식이 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립함을 증명합니다.
\[ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 \]- \(n = 1, 2, 3\)일 때 직접 대입하여 좌변과 우변이 일치함을 확인합니다.
- 그러나 이 과정만으로는 모든 자연수에 대한 증명이 안되므로 귀납법으로 확장합니다.
3️⃣ 자연수 증명 예제 (Step 1)
- \(n=1\)일 때: \[ (좌변) = 1^3 = 1, \; (우변) = \left\{\frac{1 \cdot (1+1)}{2}\right\}^2 = 1 \] 따라서 성립.
📌 추천 학습 자료
오늘은 수학적 귀납법의 정의와 증명 절차를 배워보았습니다.
충분히 연습하며 체계적으로 익혀 보세요!
궁금한 점이 있으면 댓글로 남겨주세요. 꾸준히 공부하는 여러분을 응원합니다! 🎯😊
수학적 귀납법 증명 절차 및 예제
이번 시간에는 수학적 귀납법을 통한 증명 절차와 대표 예제를 정리합니다.
모든 자연수에 대한 일반적인 명제를 증명할 때 꼭 알아야 하는 방법입니다.
1️⃣ 수학적 귀납법의 원리
- (i) \(n = 1\)일 때 명제 \(p(n)\)이 성립한다.
- (ii) \(n = k\)일 때 명제 \(p(k)\)가 성립한다고 가정하면, \(n = k+1\)일 때도 성립함을 증명한다.
- 이 과정을 반복하면 모든 자연수 \(n\)에 대해 명제 \(p(n)\)이 성립함을 증명할 수 있다.
2️⃣ 귀납법 증명 절차 (Step 2)
- \(n = k\)일 때 성립한다고 가정: \[ 1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \left\{ \frac{k (k+1)}{2} \right\}^2 \]
- 양변에 \((k+1)^3\)을 더해 증명: \[ 1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \left\{ \frac{(k+1) (k+2)}{2} \right\}^2 \]
3️⃣ 예제: 홀수 합 공식 증명
모든 자연수 \(n\)에 대해 다음 등식이 성립함을 증명하세요.
\[ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n – 1) = n^2 \]- \(n=1\)일 때: \[ (좌변) = 1, \quad (우변) = 1^2 = 1 \] 성립.
- \(n = k\)일 때 성립한다고 가정: \[ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k – 1) = k^2 \]
- 양변에 \((2k + 1)\)을 더하면: \[ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k – 1) + (2k + 1) = k^2 + (2k + 1) = (k + 1)^2 \]
- 따라서 \(n = k+1\)일 때도 성립하며, 모든 자연수에 대해 성립.
📌 추천 학습 자료
오늘은 수학적 귀납법의 증명 절차와 예제를 학습했습니다.
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