개념 105: 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점
1. 내분점과 외분점의 좌표
좌표평면 위의 두 점 \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \)에 대하여 다음이 성립해요.
- 선분 \( AB \)를 \( m:n \) (\( m > 0, n > 0 \))으로 내분하는 점 \( P \)의 좌표
\[ P \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right) \]
- 선분 \( AB \)의 중점 \( M \)의 좌표
\[ M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
- 선분 \( AB \)를 \( m:n \) (\( m > 0, n > 0, m \neq n \))으로 외분하는 점 \( Q \)의 좌표
\[ Q \left( \frac{m x_2 – n x_1}{m – n}, \frac{m y_2 – n y_1}{m – n} \right) \]
Remark:
- 수직선에서와 마찬가지로 \( m:n \)으로 외분하는 경우는 \( m:(-n) \)으로 내분하는 것으로 생각하고 내분점 공식을 적용해도 돼요.
개념확인문제
좌표평면 위의 두 점 \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \)에 대하여, 선분 \( AB \)를 \( m:n \)으로 내분 또는 외분하는 점 \( P \)의 좌표를 구하세요.
개념 105: 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점
1. 내분점과 외분점의 좌표
좌표평면 위의 두 점 \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \)에 대하여 다음이 성립해요.
- 선분 \( AB \)를 \( m:n \) (\( m > 0, n > 0 \))으로 내분하는 점 \( P \)의 좌표
\[ P \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right) \]
- 선분 \( AB \)의 중점 \( M \)의 좌표
\[ M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
- 선분 \( AB \)를 \( m:n \) (\( m > 0, n > 0, m \neq n \))으로 외분하는 점 \( Q \)의 좌표
\[ Q \left( \frac{m x_2 – n x_1}{m – n}, \frac{m y_2 – n y_1}{m – n} \right) \]
Remark:
- 수직선에서와 마찬가지로 \( m:n \)으로 외분하는 경우는 \( m:(-n) \)으로 내분하는 것으로 생각하고 내분점 공식을 적용해도 돼요.
평행선 사이의 선분 길이의 비
세 개 이상의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때, 평행선 사이에 생기는 선분의 길이 비는 일정해요.
즉, 오른쪽 그림에서 \( l \parallel m \parallel n \)일 때,
- \( a : b = a’ : b’ \)
- \( (a + b) : b = (a’ + b’) : b’ \)
개념확인문제
두 점 \( A(5, -4), B(-1, 2) \)에 대하여 다음을 구하세요.
- 선분 \( AB \)를 \( 1:2 \)로 내분하는 점 \( P \)의 좌표
- 선분 \( AB \)의 중점 \( M \)의 좌표
- 선분 \( AB \)를 \( 4:1 \)로 외분하는 점 \( Q \)의 좌표
풀이:
- \( P(3, -2) \): \( \left( \frac{1 \times (-1) + 2 \times 5}{1+2}, \frac{1 \times 2 + 2 \times (-4)}{1+2} \right) = (3, -2) \)
- \( M(2, -1) \): \( \left( \frac{5 + (-1)}{2}, \frac{-4 + 2}{2} \right) = (2, -1) \)
- \( Q(-3,4) \): \( \left( \frac{4 \times (-1) – 1 \times 5}{4-1}, \frac{4 \times 2 – 1 \times (-4)}{4-1} \right) = (-3,4) \)